Repartir un pastel entre tres personas no significa que todos midan lo mismo. Una puede valorar más el chocolate, otra el borde, otra la fruta. La justicia no está en que las partes sean iguales para un juez externo, sino en que nadie prefiera la parte de otro.
El pastel que nadie quiere cambiar
Enunciado
Tres personas valoran de manera distinta las zonas de un pastel.
¿Existe un procedimiento, basado únicamente en cortar y elegir, que garantice que al final ninguna prefiera la porción de otra persona a la suya?
Describe el procedimiento completo.
Ver solución
Solución
Sí. El procedimiento de Selfridge-Conway garantiza un reparto sin envidia para tres personas.
Llamemos A, B y C a las tres personas.
1. Reparto principal
A corta el pastel en tres partes que, para A, tienen el mismo valor.
B examina las partes. Si hay una que considera estrictamente mejor, la recorta hasta que, según B, empate con la segunda mejor. El recorte se aparta. Llamemos $X$ a la parte recortada.
C elige primero una de las tres partes principales.
- Si C no elige $X$, B debe elegir $X$.
- Si C elige $X$, B elige la parte que prefiera entre las otras dos.
A recibe la parte restante.
Con esto, el pastel principal queda repartido sin envidia:
- C eligió primero.
- B recibe $X$ o una parte que valora al menos tanto como $X$.
- A recibe una parte original no recortada, que valía un tercio según su propio corte.
2. Reparto del recorte
Entre B y C, una persona recibió $X$ y la otra no. La que no recibió $X$ corta el recorte en tres partes que considera iguales.
El orden de elección es:
- el propietario de $X$ elige primero;
- A elige segundo;
- quien cortó recibe la parte restante.
Así, quien cortó el recorte recibe una de tres partes que considera iguales; A elige antes que esa persona; y quien posee $X$ elige primero.
A tampoco envidia al propietario de $X$: antes del recorte, la parte de A valía para A tanto como la parte original completa de la que salió $X$. La parte $X$ más cualquier porción del recorte nunca supera esa parte original completa.
Respuesta: sí. El protocolo anterior reparte todo el pastel y garantiza que nadie prefiera el lote de otra persona.