El Lo Shu es uno de los cuadrados mágicos más antiguos y elegantes. Con solo los números del 1 al 9, obliga a que filas, columnas y diagonales obedezcan la misma suma: 15.
El cuadrado mágico de Lo Shu
Enunciado
Coloca los números del 1 al 9 en una cuadrícula 3\times 3, usando cada número una sola vez, de modo que la suma de cada fila, cada columna y cada diagonal sea 15.
Rellena la cuadrícula y comprueba si has construido un cuadrado mágico válido.
Ver solución
Solución
Respuesta: una disposición válida es
Comprobemos las sumas.
Filas:
Columnas:
Diagonales:
El cuadrado cumple la condición en las ocho líneas.
Veamos ahora por qué el centro tiene que ser 5. Las cuatro líneas que pasan por el centro suman 15. Al sumarlas, las ocho casillas exteriores aparecen una vez y el centro aparece cuatro veces. Si el centro vale $c$, obtenemos
Por tanto, $60=45+3c$ y necesariamente $c=5$. En consecuencia, cada pareja de casillas opuestas respecto al centro debe sumar 10. Las cuatro parejas posibles son
Falta ver qué parejas van en las esquinas. Los dos números de una pareja opuesta tienen la misma paridad. Si una pareja impar ocupase dos esquinas, solo hay dos posibilidades para la otra pareja de esquinas: si también fuera impar, las cuatro casillas de borde serían impares; si fuera par, las paridades alternarían alrededor del cuadrado y las cuatro casillas de borde serían pares. El primer caso no deja sitio para ninguno de los cuatro números pares; el segundo colocaría seis pares. Ambos son imposibles. Por tanto, las esquinas contienen exactamente $2,4,6,8$, es decir, las parejas $(2,8)$ y $(4,6)$.
Ahora normalizamos por simetría. Mediante un giro podemos poner el 4 en la esquina superior izquierda; su opuesto debe ser 6. Mediante una reflexión podemos poner el 2 en la esquina superior derecha; su opuesto será 8. Cada borde queda entonces determinado por su fila o columna: arriba va $15-4-2=9$, a la izquierda $15-4-8=3$, a la derecha $15-2-6=7$ y abajo $15-8-6=1$. Así se obtiene exactamente el cuadrado mostrado.
Cualquier solución puede llevarse a esta mediante esa rotación y esa posible reflexión. A la inversa, los cuatro giros y los cuatro reflejos del cuadrado mostrado dan ocho disposiciones distintas. Por tanto, esas son todas las soluciones: el cuadrado es único salvo rotaciones y reflexiones.