Cinco cartas entran en escena. Una desaparece y las otras cuatro llegan al mago en un orden cuidadosamente elegido. No hay palabras, gestos ni cartas marcadas.
El mago y las cinco cartas
Enunciado
Un espectador elige cinco cartas distintas de una baraja estándar de 52 cartas y se las entrega al asistente de un mago.
El asistente:
- observa las cinco cartas;
- oculta una de ellas;
- entrega las otras cuatro al mago, una detrás de otra, en el orden que desee.
El mago solo puede ver la identidad de esas cuatro cartas y el orden en que se presentan. No se permiten palabras, gestos ni ninguna otra señal.
Antes de comenzar, el mago y su asistente pueden acordar un sistema fijo.
¿Cómo pueden garantizar que el mago determine siempre cuál es la quinta carta?
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Solución
Respuesta: sí, pueden hacerlo siempre.
El protocolo combina tres ideas:
- dos de las cinco cartas comparten palo;
- una de ellas puede servir como punto de partida de la otra;
- el orden de las tres cartas restantes puede comunicar uno de seis números.
## 1. Acordar dos órdenes
Mago y asistente fijan de antemano el orden cíclico de los valores:
También acuerdan un orden total para comparar cartas distintas. Por ejemplo:
1. primero se compara el valor según
\(A<2<\cdots<10<J<Q<K\);
2. en caso de igual valor, se usa
tréboles \(<\) diamantes \(<\) corazones \(<\) picas.
Este segundo orden solo servirá para ordenar tres cartas de menor a mayor.
## 2. Encontrar dos cartas del mismo palo
La baraja tiene cuatro palos, pero el espectador ha elegido cinco cartas.
Por el principio del palomar, al menos dos de ellas pertenecen al mismo palo.
Llamemos \(X\) e \(Y\) a dos cartas de ese palo.
Una se mostrará en primer lugar y la otra permanecerá oculta.
La primera carta mostrada revela inmediatamente al mago el palo de la carta secreta.
Todavía falta comunicar su valor.
## 3. Elegir una distancia entre 1 y 6
Los trece valores forman un ciclo.
Si al avanzar desde \(X\) hasta \(Y\) hay una distancia \(r\), al avanzar desde \(Y\) hasta \(X\) hay una distancia:
Las dos distancias suman 13. Por tanto, exactamente una de ellas pertenece al conjunto:
El asistente elige como primera carta la que permita llegar a la otra avanzando entre uno y seis pasos.
Esa primera carta será la carta base. La otra será la carta oculta.
Así, la carta oculta queda determinada por:
- el palo de la carta base;
- una distancia \(d\in\{1,2,3,4,5,6\}\).
## 4. Codificar la distancia con las otras tres cartas
Después de elegir la carta base y la oculta, quedan tres cartas.
Ordenémoslas según el orden total acordado y llamémoslas:
donde:
- \(B\) es la menor;
- \(M\) es la intermedia;
- \(A\) es la mayor.
Las tres cartas admiten exactamente:
permutaciones.
Mago y asistente acuerdan esta tabla:
| Distancia | Orden de las tres cartas |
|---:|:---|
| 1 | \(B,M,A\) |
| 2 | \(B,A,M\) |
| 3 | \(M,B,A\) |
| 4 | \(M,A,B\) |
| 5 | \(A,B,M\) |
| 6 | \(A,M,B\) |
El asistente muestra:
- primero, la carta base;
- después, las tres cartas restantes en la permutación que representa \(d\).
## 5. Cómo descodifica el mago
Al recibir las cuatro cartas, el mago:
- observa el palo de la primera carta: ese es el palo de la oculta;
- ordena mentalmente las otras tres como \(B<M<A\);
- compara su orden recibido con la tabla y obtiene \(d\);
- avanza \(d\) posiciones desde el valor de la primera carta dentro del ciclo del mismo palo.
La carta alcanzada es la oculta.
## 6. Ejemplo completo
Supongamos que las cinco cartas son:
- \(3\) de picas;
- \(9\) de picas;
- as de corazones;
- \(7\) de tréboles;
- rey de diamantes.
Las dos cartas de picas son el \(3\) y el \(9\).
Desde el \(3\) hasta el \(9\), siguiendo el ciclo:
hay seis pasos.
El asistente:
- muestra primero el \(3\) de picas;
- oculta el \(9\) de picas;
- debe codificar la distancia 6.
Las otras tres cartas, de menor a mayor, son:
La distancia 6 se representa mediante el orden mayor–intermedia–menor:
El mago recibe, por tanto:
La primera carta le dice que la oculta es de picas. El orden de las otras tres significa 6. Avanza seis pasos desde el \(3\) y llega al \(9\).
La carta oculta es:
## 7. Por qué el sistema nunca falla
Toda elección de cinco cartas contiene dos del mismo palo.
Para cualquier pareja de cartas del mismo palo, una de las dos direcciones circulares tiene longitud entre 1 y 6.
Y las tres cartas restantes tienen exactamente seis órdenes posibles, suficientes para comunicar cualquiera de esas seis distancias.
Por tanto, el protocolo funciona para toda posible selección de cinco cartas.
Idea esencial: la primera carta transmite el palo y sirve como origen. El orden de las otras tres transmite una distancia. Juntas, ambas informaciones determinan exactamente la carta oculta.