Cuando varios jugadores cooperan bajo incertidumbre, la clave no siempre está en hablar más, sino en acordar de antemano quién debe hablar y quién debe callar.
Los sombreros de Ebert
Enunciado
Tres jugadores reciben al azar e independientemente un sombrero rojo o azul. Cada uno puede ver los sombreros de los otros dos, pero no el suyo.
Antes de empezar, pueden acordar un plan. Después, todos a la vez, cada uno debe hacer exactamente una de estas tres cosas: decir “rojo”, decir “azul” o callarse.
El grupo gana si se cumplen estas dos condiciones:
- al menos uno de los tres dice un color;
- nadie que hable se equivoca sobre el color de su propio sombrero.
¿Cuál es la mayor probabilidad de éxito que pueden garantizarse?
Ver solución
Solución
Respuesta: la mayor probabilidad de éxito es $3/4$.
La estrategia es esta:
si un jugador ve dos sombreros del mismo color, dice que el suyo es del color contrario;
si ve dos sombreros de distinto color, se calla.
Hay $2^3 = 8$ distribuciones posibles de sombreros, todas igual de probables.
Si los tres sombreros son iguales —todos rojos o todos azules—, cada jugador ve dos sombreros iguales y aplica la regla: los tres hablan y los tres fallan. Esos son los dos casos perdidos.
En cualquier otra distribución hay dos sombreros de un color y uno del otro. El jugador que lleva el color minoritario ve dos sombreros iguales, habla y acierta; los otros dos ven colores distintos y se callan. El grupo gana.
Por tanto, el grupo gana en 6 de los 8 casos:
Para ver que no puede hacerse mejor: los 8 casos se agrupan en 4 parejas complementarias, donde se invierten todos los colores. En ambos casos de cada pareja, los jugadores ven exactamente la misma información pero con los colores intercambiados. Si en uno de los dos alguien habla, en el otro hablaría con la misma información visual y se equivocaría. Esto fuerza al menos 2 casos perdidos, que es exactamente lo que alcanza la estrategia anterior.