Cuando aparece el infinito, hacer sitio deja de ser una cuestión de huecos y pasa a ser una cuestión de orden. Este problema tiene la alegría rara de las ideas que parecen imposibles y, sin embargo, caben enteras en una línea.
El hotel de Hilbert II
Enunciado
Un hotel tiene infinitas habitaciones numeradas 1, 2, 3, …, y todas están ocupadas.
Llega ahora una cola infinita de huéspedes nuevos, numerados \(g_1, g_2, g_3, \dots\).
¿Cómo puede alojarlos a todos?
Ver solución
Solución
Respuesta: Basta con mover a cada huésped actual de la habitación \(n\) a la habitación \(2n\). Entonces los nuevos huéspedes ocupan las impares: \(g_1\) va a la 1, \(g_2\) a la 3, \(g_3\) a la 5, y así sucesivamente.
Explicación:
El hotel está lleno, pero eso no impide reorganizarlo. Si envías a cada huésped antiguo de la habitación \(n\) a la habitación \(2n\), todos siguen teniendo habitación y no hay colisiones: dos números distintos producen habitaciones pares distintas.
Quedas entonces con todas las impares libres. Como también forman una colección infinita y numerable, puedes asignarlas una a una a los nuevos huéspedes: \(g_k\) va a la habitación \(2k - 1\).