Diez resultados, ninguna etiqueta y cinco pesos por reconstruir.
Cinco cajas, diez pesadas
Enunciado
Cinco cajas tienen pesos desconocidos.
Se pesaron todas las parejas posibles, una sola vez cada una. Después se perdió la anotación de qué dos cajas correspondían a cada pesada, pero se conservaron estos diez resultados, en kilogramos:
20, 26, 32, 33, 39, 42, 45, 48, 54 y 61
¿Puedes determinar con certeza cuánto pesa cada caja?
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Solución
Respuesta: Las cajas pesan 7, 13, 19, 26 y 35 kg.
Llamemos a los pesos, de menor a mayor,
La suma de las diez pesadas es:
Cada caja aparece exactamente en cuatro parejas. Por tanto,
de modo que las cinco cajas pesan en total:
La menor pesada corresponde necesariamente a las dos cajas más ligeras:
La mayor corresponde a las dos más pesadas:
Así podemos aislar directamente el peso central:
La segunda pesada más pequeña tiene que ser \(a+c\):
por lo que:
Del mismo modo, la segunda pesada más grande tiene que ser \(c+e\):
y entonces:
Por tanto, las cajas pesan:
Al comprobar todas las parejas se obtienen exactamente los diez resultados del enunciado.