En una liguilla corta, cinco equipos se enfrentan todos contra todos. Al final, ningún par de equipos comparte puntuación. La pregunta es hasta dónde puede llegar el cuarto clasificado.
El torneo de los empates
Enunciado
Cinco equipos juegan una liguilla todos contra todos, a una sola vuelta.
Puntuación:
- victoria: 3 puntos;
- empate: 1 punto para cada equipo;
- derrota: 0 puntos.
Al final, los cinco equipos terminan con puntuaciones distintas.
¿Cuál es la mayor puntuación posible del cuarto clasificado?
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Solución
Respuesta: la mayor puntuación posible del cuarto clasificado es 5 puntos.
Llamemos a las puntuaciones finales, de mayor a menor:
Queremos maximizar s_4.
Supongamos que el cuarto clasificado pudiera tener al menos 6 puntos. Como las cinco puntuaciones son distintas, los tres equipos por encima de él tendrían que alcanzar al menos 7, 8 y 9 puntos respectivamente.
Eso significa que los cuatro primeros sumarían como mínimo:
Ahora bien, en una liguilla de cinco equipos hay
partidos, y cada partido reparte a lo sumo 3 puntos. El total máximo de puntos del torneo es, por tanto:
Para que los cuatro primeros ya sumen 30, el quinto equipo debería tener 0 puntos, y todos los partidos tendrían que acabar con victoria — sin ningún empate. Pero si no hay empates, cada puntuación es múltiplo de 3. Las puntuaciones 8 y 7 serían imposibles.
Queda demostrado que s_4 \le 5.
Ahora falta ver que 5 sí es alcanzable. Una clasificación posible es:
La siguiente tabla de resultados la realiza:
- Equipo A gana a B, C y D; empata con E. Termina con 10 puntos.
- Equipo B gana a C y D; empata con E; pierde con A. Termina con 7 puntos.
- Equipo C gana a D y E; pierde con A y B. Termina con 6 puntos.
- Equipo E gana a D; empata con A y B; pierde con C. Termina con 5 puntos.
- Equipo D pierde todos sus partidos. Termina con 0 puntos.
Las cinco puntuaciones son distintas y el cuarto clasificado (equipo E) tiene 5 puntos.
Por tanto, la mayor puntuación posible del cuarto clasificado es 5 puntos.