acertijo del día

Tiene algo de problema antiguo bien hecho: un mercader, una balanza y una exigencia de exactitud absoluta. La belleza aquí no está en probar combinaciones, sino en dar con un sistema óptimo que las ordene todas.

Las pesas del mercader

Estratega
Territorio numérico

Enunciado

Un mercader quiere poder pesar cualquier cantidad entera de kilos, desde 1 hasta 40kg, usando solo cuatro pesas.

Tiene una balanza de platillos y puede colocar pesas en cualquiera de los dos platillos, incluso junto al objeto que desea pesar.

¿Cuánto debe pesar cada una de las cuatro pesas?

Ver solución

Solución

Respuesta: Las pesas deben ser de 1, 3, 9 y 27 kilos.

Explicación:

Como las pesas pueden ponerse en ambos platos, cada una puede contribuir de tres maneras:

  • no usarla;
  • ponerla en el plato opuesto al objeto, lo que equivale a sumar su peso;
  • ponerla en el mismo plato que el objeto, lo que equivale a restarlo.

Cada pesa funciona así como un «dígito» con valores \(-1\), \(0\) o \(1\). La base natural para este tipo de representación es la de las potencias de 3:

\[ 1,\ 3,\ 9,\ 27. \]

Con esas cuatro pesas se puede expresar cualquier entero entre 1 y 40 como combinación de la forma

\[ a_0\cdot 1+a_1\cdot 3+a_2\cdot 9+a_3\cdot 27, \qquad a_i\in\{-1,0,1\}. \]

Eso es exactamente el ternario equilibrado.

Algunos ejemplos:

  • \(2 = 3-1\),
  • \(8 = 9-1\),
  • \(20 = 27-9+3-1\),
  • \(40 = 27+9+3+1\).