Algunos números dejan una firma al multiplicarse por sí mismos. Se esconden al final de su propio cuadrado, como si el cálculo los devolviera intactos.
El cuadrado que termina en sí mismo
Enunciado
Busca un número de dos cifras con esta propiedad:
al elevarlo al cuadrado, las dos últimas cifras del resultado son otra vez el propio número.
Por ejemplo:
y termina en 25.
¿Hay otro número de dos cifras con esa propiedad?
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Solución
Los únicos números de dos cifras son 25 y 76.
La condición de que el cuadrado termine en el propio número se escribe:
es decir:
Como 100 es $4\cdot25$, resolvemos por separado módulo 4 y módulo 25. Dos enteros consecutivos son coprimos, así que para que su producto sea divisible por una potencia prima, toda esa potencia debe dividir a uno de los dos factores.
Por tanto:
y
Al combinar las cuatro posibilidades obtenemos, módulo 100:
Los dos primeros no tienen dos cifras. Quedan:
y
Respuesta: los únicos números de dos cifras con esa propiedad son 25 y 76.