Cada división produce un número distinto y abre nuevas posibilidades. Todo parece depender del camino elegido, hasta que se descubre qué está contando realmente cada producto.
El botín partido
Enunciado
Empiezas con 10 fichas en un único montón.
En cada paso:
- Eliges un montón que contenga al menos dos fichas.
- Lo divides en dos montones no vacíos.
- Anotas el producto de los tamaños de los dos nuevos montones.
Repites el proceso hasta que las 10 fichas quedan separadas, una en cada montón.
Después sumas todos los productos anotados.
¿Qué suma obtendrás? ¿Puede depender de cómo realices las divisiones?
¿Y cuál sería el resultado si empezaras con n fichas?
Ver solución
Solución
Respuesta: la suma siempre es 45. No depende de cómo realices las divisiones.
Con \(n\) fichas, el resultado general es:
Por qué
Considera cada pareja de fichas. Al principio, las dos fichas de una pareja están juntas. Al terminar, están en montones distintos.
Cuando divides un montón en dos partes de tamaños \(a\) y \(b\), quedan separadas exactamente las parejas que tienen una ficha en cada parte. Hay:
parejas de ese tipo, que es precisamente el producto que anotas.
Cada pareja de fichas queda separada por primera vez en un único paso. Por tanto, al sumar todos los productos estás contando cada pareja exactamente una vez.
El total es entonces el número de parejas que pueden formarse con \(n\) fichas:
Para \(n=10\):
Comprobación alternativa
Si \(E\) es la suma de \(\binom{s}{2}\) sobre los tamaños de todos los montones, una división \(a+b\to a,b\) reduce \(E\) exactamente en \(ab\). Como \(E\) empieza en \(\binom{n}{2}\) y termina en \(0\), la suma de todos los productos anotados debe ser \(\binom{n}{2}\).