Un problema de transferencias e invariantes disfrazado de cubos y canicas: la escena parece local, pero la solución buena ya está pensando globalmente.
El último cubo lleno
Enunciado
Hay tres cubos con canicas.
En cada movimiento puedes elegir uno de ellos y duplicar su número de canicas, tomando de los otros dos cubos, entre ambos, exactamente tantas canicas como ese cubo tenía.
Por ejemplo, si los cubos contienen 5, 4 y 3, una forma de duplicar el cubo de 3 es tomar 2 del cubo de 5 y 1 del cubo de 4. Así pasarías a tener 3, 3 y 6.
Ahora compara estos dos casos:
- Caso A: 12, 7 y 3 canicas.
- Caso B: 10, 8 y 5 canicas.
En cada caso, ¿puedes conseguir que dos cubos queden vacíos?
Ver solución
Solución
Respuesta: en el caso A sí puede hacerse; en el caso B no.
En el caso A hay:
canicas. Podemos conseguir que todas acaben en un solo cubo en dos movimientos.
Primero duplicamos el cubo de 3. Para hacerlo, tomamos 1 canica del cubo de 12 y 2 canicas del cubo de 7:
Ahora el cubo de 11 tiene exactamente tantas canicas como los otros dos juntos:
Duplicamos ese cubo de 11 tomando todas las canicas de los otros dos:
Así que en el caso A sí se puede.
En el caso B, en cambio, el total es:
Para terminar con dos cubos vacíos, el último movimiento tendría que convertir una situación de este tipo:
en esta otra:
Es decir: justo antes del último movimiento, la mitad de las canicas tendría que estar en el cubo que se duplica y la otra mitad en los otros cubos.
Pero si el total es 23, no hay mitad entera. No se puede partir 23 canicas en dos grupos iguales.
Por eso el caso B es imposible.