La urna de Pólya es un clásico del azar reforzado: cuando un color sale, se vuelve un poco más probable que vuelva a salir. La pregunta es si ese sesgo acumulado distorsiona la distribución final o si, contra toda intuición, termina por no importar.
La apuesta de la urna
Enunciado
Una urna empieza con 1 bola roja y 1 azul.
En cada turno:
1. se extrae una bola al azar;
2. se devuelve a la urna;
3. se añade una nueva bola del mismo color.
Tras \(n\) turnos habrá \(n+2\) bolas en total.
María apuesta que, al cabo de \(n\) turnos, todos los valores posibles del número de bolas rojas son igual de probables. Luis dice que los valores centrales deberían salir más a menudo.
¿Quién gana la apuesta? Y, más precisamente, ¿cuál es la probabilidad de terminar con exactamente \(k\) bolas rojas?
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Solución
Respuesta: María tiene razón.
Si \(R_n\) es el número de bolas rojas tras \(n\) turnos, entonces los valores posibles son \(1, 2, \dots, n+1\), y todos son equiprobables:
Prueba por inducción.
Para \(n=0\) solo puede haber 1 bola roja, así que la afirmación es trivialmente cierta.
Supongamos que tras \(n\) turnos la distribución es uniforme. Queremos calcular \(\mathbb{P}(R_{n+1}=k)\) para \(k=1,2,\dots,n+2\).
Eso puede ocurrir de dos maneras:
que tras \(n\) turnos hubiese \(k-1\) rojas y se extraiga una roja (posible cuando \(k \geq 2\));
que tras \(n\) turnos hubiese \(k\) rojas y se extraiga una azul (posible cuando \(k \leq n+1\)).
En los extremos, \(k=1\) solo admite el segundo caso y \(k=n+2\) solo el primero; en ambos la cuenta que sigue es la misma. Por tanto:
Aplicando la hipótesis inductiva —donde cada término que existe vale \(\frac{1}{n+1}\), y los términos fuera de rango valen \(0\)—:
Esto vale para cada \(k=1,2,\dots,n+2\), de modo que la distribución sigue siendo uniforme en el paso \(n+1\).
Así que María gana la apuesta.