Quitar un número de un grupo y añadirlo a otro parece obligar a que una media suba y la otra baje. Hay un intervalo en el que ocurre justo lo contrario.
La tarjeta entre dos medias
Enunciado
Hay dos cajas con tarjetas numeradas.
La media de los números de la caja A es mayor que la media de los números de la caja B.
¿Puede haber una tarjeta en A que, al pasarla de A a B, haga subir la media de las dos cajas?
Ver solución
Solución
Sí.
Sea $m_A$ la media de A y $m_B$ la media de B, con $m_A>m_B$.
Si en A hay una tarjeta de valor $x$ que cumple:
$
m_B<x<m_A,
$
entonces ocurren dos cosas a la vez:
- al quitar de A un valor inferior a su media, la media de A sube;
- al añadir a B un valor superior a su media, la media de B también sube.
Por ejemplo:
- A contiene 60 y 100, con media 80;
- B contiene 40 y 50, con media 45.
Al pasar la tarjeta 60 de A a B:
- A queda con media 100;
- B queda con media 50.
Las dos medias han aumentado.
Respuesta: sí. Basta trasladar de A a B una tarjeta cuyo valor esté entre las dos medias.