Veinte monedas visibles, dos extremos y una pregunta: ¿puede el primer jugador evitar la derrota, decida lo que decida su rival?
La fila de monedas
Enunciado
Hay 20 monedas dispuestas en fila. Cada una tiene un valor positivo visible para ambos jugadores; los valores pueden repetirse.
Por turnos, cada jugador toma una moneda de uno de los dos extremos. Cuando la fila queda vacía, cada uno suma el valor de las monedas que ha conseguido.
¿Puede el primer jugador garantizar que no perderá, cualquiera que sea el valor y el orden de las monedas? Si es así, ¿qué estrategia debe seguir?
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Solución
Respuesta: sí. El primer jugador puede garantizar que no perderá.
Numera las posiciones originales de izquierda a derecha, del 1 al 20, y suma por separado el valor de las monedas situadas en posiciones impares y en posiciones pares. Una de las dos sumas será necesariamente mayor o igual que la otra.
El primer jugador decide quedarse con esa familia completa. Si elige las posiciones impares, comienza tomando la moneda de la izquierda, que ocupa la posición 1. Si elige las pares, comienza por la derecha, tomando la posición 20.
A partir de entonces, toma siempre del mismo extremo que acaba de utilizar su rival.
La razón es que, después del primer movimiento, los dos extremos disponibles para el segundo jugador pertenecen a la paridad contraria. Cuando el rival retira una moneda, deja expuesta en ese mismo extremo una posición de la paridad elegida por el primero, que puede tomarla inmediatamente. La misma situación se repite hasta el final.
Así, el primer jugador obtiene las diez monedas de la paridad que eligió y el segundo las diez restantes. Como eligió la familia cuya suma era mayor o igual, su valor final será al menos tan grande como el de su rival.
La clave no es escoger siempre la mejor moneda visible, sino elegir desde el primer movimiento una de las dos mitades completas de la fila.