Es una pieza social y lógica al mismo tiempo: cada respuesta encaja con las demás hasta que la fiesta queda secretamente ordenada. La solución no cuenta apretones uno a uno; descubre la estructura que los obliga.
El apretón de manos de los matrimonios
Enunciado
En una fiesta hay varias parejas casadas. Nadie se da la mano consigo mismo ni con su propio cónyuge.
Preguntas a todos los demás cuántas manos han estrechado y obtienes respuestas todas distintas.
¿Cuántas manos ha estrechado tu cónyuge?
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Solución
Respuesta: Tu cónyuge ha estrechado $n - 1$ manos, donde $n$ es el número total de parejas en la fiesta.
Explicación:
Si hay $n$ parejas, hay $2n$ personas. Tú preguntas a todos menos a ti, así que recibes $2n - 1$ respuestas.
Cada persona puede haber estrechado entre $0$ y $2n - 2$ manos: no puede darse la mano a sí misma ni a su propio cónyuge.
Como las respuestas que recibes son todas distintas, necesariamente son:
Ahora emparejamos los extremos.
La persona que dio $0$ manos debe estar casada con la que dio $2n - 2$ manos. Esta última saludó a todo el mundo salvo a su cónyuge; por tanto, su cónyuge es precisamente quien no saludó a nadie.
Quitada esa pareja, el mismo razonamiento se repite: entre las personas restantes, quien dio $1$ mano debe estar casado con quien dio $2n - 3$; quien dio $2$, con quien dio $2n - 4$; y así sucesivamente.
Todas las respuestas quedan emparejadas por extremos:
Pero hay una respuesta que queda justo en el centro:
Esa respuesta no puede pertenecer a ninguna de las otras parejas emparejadas. Por tanto, corresponde necesariamente a tu cónyuge.
Así que tu cónyuge ha estrechado exactamente:
manos.