Nueve personas quieren saludarse todas. Pueden cambiar de sitio, pero los saludos tienen una regla.
El tablero de los saludos
Enunciado
Nueve personas ocupan las nueve casillas de una cuadrícula de 3 por 3, una por casilla. Cada persona saluda a quienes ocupan las casillas que comparten un lado con la suya. Las diagonales no cuentan.
Después se recolocan libremente y vuelven a saludar siguiendo la misma regla. Hacen una tercera y última ronda, con otra distribución a su elección.
¿Pueden organizar las tres rondas para que cada pareja de personas se haya saludado al menos una vez?
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Solución
No. Coloreamos la cuadrícula como un tablero de ajedrez. Dos casillas que comparten lado tienen colores opuestos.
A cada persona le asignamos una palabra de tres letras: en cada ronda escribimos B o N según el color de la casilla que ocupó. Hay exactamente 2³ = 8 palabras posibles y nueve personas. Por el principio del palomar, dos personas reciben la misma palabra.
Esas dos personas estuvieron en casillas del mismo color en las tres rondas. Nunca pudieron compartir un lado y, por tanto, nunca se saludaron. La conclusión vale para cualquier elección de las tres distribuciones, aunque se repitan saludos.
Como control adicional, cada ronda contiene doce parejas vecinas y las nueve personas forman 36 parejas. Tres rondas dan exactamente 36 oportunidades: el recuento total parece permitirlo, pero no detecta la incompatibilidad que sí revelan los códigos.
No necesitamos saber dónde estuvo cada persona. Basta registrar tres respuestas binarias. Las posiciones dejan demasiadas posibilidades; los colores comprimen la información hasta que una repetición resulta inevitable.