Es una miniatura de reconstrucción: cada cifra parece local, pero termina fijando toda la fila. El placer está en ver cómo una secuencia seca se vuelve casi inevitable.
La estantería de alturas
Enunciado
Cinco libros de alturas distintas 1, 2, 3, 4 y 5 —donde 1 es el más bajo y 5 el más alto— están colocados en fila.
Cada libro anota cuántos libros más altos que él tiene a su izquierda.
Las notas, de izquierda a derecha, son:
\[
0,\ 1,\ 1,\ 3,\ 2.
\]
¿En qué orden están los libros, de izquierda a derecha?
Ver solución
Solución
Respuesta:
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5,\ 2,\ 4,\ 1,\ 3.
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Llamemos a_1,\dots,a_5 a las alturas de izquierda a derecha.
- La cuarta nota es 3. A la izquierda del cuarto libro hay exactamente tres posiciones, así que las tres deben ser más altas que él. Por tanto,
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a_4=1.
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- La quinta nota es 2. Entre los cuatro libros a su izquierda debe haber exactamente dos más altos que él. Ya sabemos que a_4=1, de modo que el quinto libro debe superar a 1 pero quedar por debajo de exactamente dos de los tres valores restantes \{2,4,5\}. El único valor que satisface esto es 3, pues 2 quedaría por debajo de los tres y 4 o 5 quedarían por debajo de menos de dos. Por tanto,
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a_5=3.
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Quedan las alturas \{2,4,5\} para las tres primeras posiciones, con notas 0, 1, 1.
- La primera nota es 0: ningún libro a su izquierda es más alto, lo que simplemente significa que es el mayor de los tres. Luego a_1=5.
- Con a_1=5 ya fijado, la segunda posición necesita exactamente un libro más alto a su izquierda — que es 5 — y la tercera posición también necesita exactamente uno. Si a_2=4, entonces a_2 ve a 5 a su izquierda: nota 1. Y a_3=2 ve a 5 y a 4, pero solo 5 y 4 son mayores que 2, lo que daría nota 2, no 1. En cambio, si a_2=2, ve a 5: nota 1. Y a_3=4 ve a 5 y a 2, de los cuales solo 5 es mayor: nota 1. Este orden es el único compatible.
La fila completa es:
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5,\ 2,\ 4,\ 1,\ 3.
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