Cuando las dos agujas son indistinguibles, la imagen del reloj ya no indica cuál desempeña cada función. Algunas imágenes siguen determinando una única hora; otras enlazan dos instantes distintos.
Las agujas gemelas
Enunciado
Un reloj analógico funciona de manera continua y perfectamente, pero sus dos agujas son exactamente iguales en longitud, grosor y apariencia. No puedes distinguir cuál es la horaria y cuál la minutera.
Considera el intervalo de doce horas que comienza a las 12:00:00 del mediodía —instante incluido— y termina a las 24:00:00, la medianoche siguiente —instante excluido—.
La lectura es ambigua en un instante si la misma disposición visible de las dos agujas también corresponde a otro instante distinto del mismo ciclo al intercambiar sus funciones.
Contamos instantes, no imágenes distintas: si una imagen ambigua aparece en dos horas diferentes, cuentan ambos instantes.
¿En cuántos instantes del ciclo es ambigua la lectura?
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Solución
Sea h la posición de la aguja horaria, medida como fracción de una vuelta desde las doce. Durante el ciclo considerado:
0 ≤ h < 1.
La minutera gira doce veces más rápido, así que su posición m satisface:
m ≡ 12h (módulo 1).
Ahora intercambiamos mentalmente las funciones. Para que la antigua minutera pueda actuar como horaria y la antigua horaria como minutera, también debe cumplirse:
h ≡ 12m (módulo 1).
Sustituyendo la primera relación en la segunda:
h ≡ 144h (módulo 1),
de modo que:
143h es un número entero.
Por tanto, las posiciones candidatas son:
h = k/143, con k = 0, 1, …, 142.
Hay 143 instantes candidatos en el ciclo.
Sin embargo, algunos no son ambiguos: cuando las agujas coinciden, intercambiarlas no produce una hora distinta. La condición h = m, junto con m ≡ 12h, da:
11h es un número entero.
Así obtenemos los 11 encuentros:
h = j/11, con j = 0, 1, …, 10.
Todos pertenecen a la lista anterior, pues j/11 = 13j/143. Al retirarlos quedan:
143 − 11 = 132 instantes ambiguos.
Para entender por qué representan 66 imágenes, numeremos un instante candidato mediante k. El instante obtenido al intercambiar las agujas corresponde a:
k' ≡ 12k (módulo 143).
Esta transformación es una involución porque 12² = 144 ≡ 1 (módulo 143). Los 11 encuentros son sus puntos fijos; los otros 132 instantes quedan emparejados de dos en dos:
132 ÷ 2 = 66 imágenes ambiguas distintas.