La rotación borra la identidad de cada vaso, pero no puede borrar la geometría: las parejas siguen siendo adyacentes u opuestas. La estrategia consiste en reducir las configuraciones posibles hasta que solo quede una.
La bandeja giratoria
Enunciado
Cuatro vasos están colocados en las esquinas de una bandeja cuadrada. Cada vaso está derecho o boca abajo.
Tienes los ojos vendados.
Antes del primer turno, y después de cada acción tuya, si los cuatro vasos tienen la misma orientación, suena una campana y ganas.
En cada turno puedes:
- escoger dos vasos adyacentes o dos vasos opuestos;
- tocarlos para conocer su orientación;
- dar la vuelta a ninguno, a uno o a los dos.
Si la campana no suena, otra persona gira la bandeja 0, 1, 2 o 3 cuartos de vuelta, sin cambiar la orientación de los vasos. Antes del turno siguiente ya no sabes qué vaso ocupa cada esquina.
Diseña una estrategia que garantice que la campana sonará en cinco turnos como máximo.
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Solución
Si la campana suena en cualquier momento, el proceso termina.
Turno 1 — pareja opuesta
Toca dos vasos opuestos y deja ambos derechos. Si no ganas, solo pueden quedar dos clases de estado:
- tres vasos derechos y uno boca abajo;
- dos derechos opuestos y dos boca abajo opuestos.
Turno 2 — pareja adyacente
Toca dos vasos adyacentes y deja ambos derechos.
En la segunda clase, cualquier pareja adyacente contiene uno de cada orientación, así que el resultado es tres derechos y uno boca abajo. Si ya había tres derechos y uno boca abajo, tocar el vaso distinto hace sonar la campana; si no lo tocas, la misma clase permanece.
Por tanto, si todavía no has ganado, quedan exactamente tres vasos derechos y uno boca abajo.
Turno 3 — pareja opuesta
Toca dos vasos opuestos.
- Si tienen orientaciones distintas, deja ambos derechos. El único vaso boca abajo estaba entre los tocados y los cuatro quedan derechos.
- Si ambos están derechos, gira exactamente uno. El único vaso que ya estaba boca abajo se encuentra en la otra diagonal; ahora quedan dos derechos adyacentes y dos boca abajo adyacentes.
Turno 4 — pareja adyacente
Toca dos vasos adyacentes y gira los dos.
- Si tenían la misma orientación, los otros dos también eran iguales entre sí y de orientación contraria: al girar la pareja tocada, los cuatro quedan iguales.
- Si tenían orientaciones distintas, la configuración pasa a tener dos derechos opuestos y dos boca abajo opuestos.
Turno 5 — pareja opuesta
Toca dos vasos opuestos. En la única clase restante, cualquier pareja opuesta contiene dos vasos con la misma orientación. Gira ambos y los cuatro quedan iguales.
Las rotaciones intermedias pueden cambiar qué esquina ocupa cada vaso, pero conservan todas las clases utilizadas en el argumento. Por eso la estrategia garantiza el éxito en no más de cinco turnos.