Su fama no es exagerada. Reúne en un solo nudo tres dificultades distintas —verdad, mentira y lenguaje desconocido— y exige una solución que las neutralice a la vez.
El acertijo lógico más difícil del mundo
Enunciado
Tres dioses, A, B y C, son llamados Verdad, Falsedad y Aleatorio, en algún orden.
- Verdad siempre responde con la verdad.
- Falsedad siempre responde con una mentira.
- Aleatorio responde al azar.
Entienden tu idioma, pero responden usando las palabras “da” y “ja”, y no sabes cuál significa “sí” y cuál significa “no”.
Puedes hacer exactamente tres preguntas, cada una dirigida a un solo dios y con respuesta sí/no.
¿Cómo identificas con certeza cuál es cuál?
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Solución
Respuesta: se puede identificar a los tres dioses en exactamente tres preguntas.
La clave es usar con mucho cuidado una pregunta de control. Para cualquier proposición P, definimos:
> M(P): "Si te preguntara si P, y me respondieras 'da', ¿me estarías diciendo la verdad?"
Esta pregunta no dice simplemente si P es verdadera. Hace algo un poco más sutil y más potente.
Qué significa realmente M(P)
Si preguntamos M(P) a Verdad:
- responde da si P es verdadera;
- responde ja si P es falsa.
Si preguntamos M(P) a Falsedad:
- responde da si P es falsa;
- responde ja si P es verdadera.
Esto no depende de si da significa sí o no. En ambos idiomas posibles, el patrón es el mismo.
Por tanto, para un dios que no sea Aleatorio:
| Dios preguntado | P verdadera | P falsa |
|---|:---:|:---:|
| Verdad | da | ja |
| Falsedad | ja | da |
Es decir:
> M(P) responde da exactamente cuando P coincide con que el dios preguntado sea Verdad.
Esta es la herramienta buena. No elimina al mentiroso: lo incorpora.
Cómo convertirla en una pregunta fiable
Si queremos saber una proposición cualquiera Q, no preguntamos M(Q).
Preguntamos:
> C(Q): "Si te preguntara si Q si y solo si tú eres Verdad, y me respondieras 'da', ¿me estarías diciendo la verdad?"
Veamos por qué funciona.
- Si el dios es Verdad, la proposición interior "Q si y solo si tú eres Verdad" equivale a Q.
- Si el dios es Falsedad, la proposición interior equivale a "no Q". Pero Falsedad responde da precisamente cuando la proposición interior es falsa. Así que vuelve a responder da cuando Q es verdadera.
Por tanto, para cualquier dios que no sea Aleatorio:
| Pregunta C(Q) | Q verdadera | Q falsa |
|---|:---:|:---:|
| Respuesta | da | ja |
Ahora sí: C(Q) convierte da en una respuesta fiable sobre Q, sin saber qué significa da y sin saber si habla Verdad o Falsedad.
Primera pregunta: encontrar un dios no aleatorio
Pregunta a A:
> "Si te preguntara si B es Aleatorio si y solo si tú eres Verdad, y me respondieras 'da', ¿me estarías diciendo la verdad?"
Es decir, pregunta a A la forma C(B\text{ es Aleatorio}).
Actúa así:
- si A responde da, la segunda pregunta se la harás a C;
- si A responde ja, la segunda pregunta se la harás a B.
¿Por qué funciona?
Si A no es Aleatorio, su respuesta a C(B\text{ es Aleatorio}) es fiable:
- da significa que B es Aleatorio, así que C no lo es;
- ja significa que B no es Aleatorio, así que B sirve.
Si A sí es Aleatorio, su respuesta puede ser cualquiera. Pero entonces B y C no son Aleatorio, así que tanto B como C sirven.
En todos los casos, después de la primera pregunta has elegido un dios no aleatorio. Llamémoslo Y.
Segunda pregunta: localizar a Aleatorio
Pregunta a Y:
> "Si te preguntara si A es Aleatorio si y solo si tú eres Verdad, y me respondieras 'da', ¿me estarías diciendo la verdad?"
Es decir, pregunta C(A\text{ es Aleatorio}).
Como Y no es Aleatorio, la respuesta es fiable:
- si responde da, A es Aleatorio;
- si responde ja, A no es Aleatorio.
Si A no es Aleatorio, entonces Aleatorio es el tercer dios que no es A ni Y.
Con esto, Aleatorio queda identificado.
Tercera pregunta: distinguir Verdad y Falsedad
Ahora quedan dos dioses no aleatorios. Elige uno de ellos, llámalo X.
Hazle una pregunta M(P) con una proposición que sepas verdadera, por ejemplo:
> "Si te preguntara si dos más dos son cuatro, y me respondieras 'da', ¿me estarías diciendo la verdad?"
Aquí P es verdadera.
Según la tabla inicial:
- si X responde da, X es Verdad;
- si X responde ja, X es Falsedad.
El otro dios no aleatorio queda identificado por descarte.
Así se identifican Verdad, Falsedad y Aleatorio con exactamente tres preguntas.