En muchos acertijos de sombreros hay dos colores: blanco o negro. Pero la idea profunda de este problema no depende de que haya solo dos opciones. Incluso con infinitos colores posibles, una estrategia colectiva puede controlar casi todos los errores.
Los sombreros con infinitos colores
Enunciado
Hay infinitos prisioneros en fila, numerados:
Cada uno lleva un sombrero de algún color. Puede haber infinitos colores posibles.
Cada prisionero ve todos los sombreros de quienes tiene delante, pero no ve el suyo ni los de detrás.
Antes de ponerse los sombreros pueden acordar una estrategia.
Luego todos, a la vez, deben decir el color de su propio sombrero.
¿Pueden garantizar que solo se equivoquen un número finito de prisioneros, pase lo que pase?
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Solución
Sí, pueden.
La idea es la misma que en la versión de blanco y negro, pero más sorprendente: no importa cuántos colores posibles haya.
Dos configuraciones infinitas de sombreros se consideran equivalentes si solo difieren en un número finito de posiciones.
Por ejemplo, aunque los colores posibles sean muchísimos, dos filas están en la misma clase si desde cierto punto en adelante coinciden siempre, salvo quizá en algunos lugares aislados.
Antes de empezar, los prisioneros eligen un representante para cada una de esas clases de equivalencia.
Cuando un prisionero mira hacia delante, ve todos los sombreros salvo una cantidad finita: el suyo y los que quedan detrás de él.
Por eso, con lo que ve, puede determinar a qué clase de equivalencia pertenece la configuración real.
Entonces responde el color que tiene en su posición el representante elegido para esa clase.
Como la configuración real y el representante están en la misma clase, solo difieren en un número finito de posiciones.
Los prisioneros que estén en esas posiciones pueden fallar. Todos los demás aciertan.
Respuesta: sí. Incluso con infinitos colores, pueden garantizar que solo haya un número finito de errores.