A veces la información colectiva revela algo que ninguna respuesta individual podría confirmar.
Los nativos en círculo
Enunciado
Una antropóloga queda rodeada por un círculo de nativos.
Cada uno pertenece a una de dos tribus:
- los que siempre dicen la verdad;
- los que siempre mienten.
A cada nativo le hace la misma pregunta:
“¿La persona que tienes a tu derecha dice siempre la verdad?”
Después de escuchar todas las respuestas, la antropóloga no sabe todavía quién pertenece a qué tribu.
Pero sí descubre algo sorprendente: la proporción de mentirosos queda determinada de manera única.
¿Cuál es esa proporción?
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Solución
Llamemos V a un veraz y M a un mentiroso.
Analicemos qué responde cada nativo sobre su vecino derecho:
Un veraz con vecino V dice la verdad: responde sí.
Un veraz con vecino M dice la verdad: responde no.
Un mentiroso con vecino V miente (el vecino sí dice la verdad): responde no.
Un mentiroso con vecino M miente (el vecino no dice la verdad): responde sí.
En resumen: cualquier nativo responde sí si su vecino derecho es de su misma tribu, y no si es de tribu distinta.
Las respuestas, por tanto, solo revelan si cada par de vecinos consecutivos coincide en tipo o no. No permiten saber quién es V y quién es M en términos absolutos.
Esto implica que, dada cualquier distribución compatible con las respuestas, existe siempre otra igualmente válida: basta intercambiar todas las V por M y todas las M por V. Las respuestas del círculo no cambian en absoluto.
Sin embargo, el enunciado establece que la proporción de mentirosos queda determinada de manera única. La única forma de que una proporción sea invariante al intercambiar veraces y mentirosos es que ambos grupos tengan exactamente el mismo tamaño.
Por tanto, la mitad de los nativos miente y la otra mitad dice la verdad.