La posibilidad de mover y apilar las piezas cambia por completo la cuenta. Pero encontrar un procedimiento eficiente no basta: también hay que demostrar que ninguno más corto puede funcionar.
Veintisiete cubitos
Enunciado
Tienes un cubo de madera de 3 × 3 × 3, formado por 27 cubitos iguales.
Quieres separar completamente los 27 cubitos usando una sierra.
Cada corte consiste en un único plano recto. Después de cada corte puedes separar, mover, girar, alinear y apilar libremente las piezas obtenidas. Un mismo corte puede atravesar de una vez todas las piezas de una pila correctamente alineada.
Ignora el grosor de la hoja de sierra y la pérdida de material.
¿Cuál es el menor número de cortes necesario?
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Solución
Construcción en seis cortes
Haz dos cortes paralelos, situados a un tercio y a dos tercios del cubo. Obtienes tres láminas de 3 × 3 × 1.
Apila las tres láminas con sus caras y aristas exactamente alineadas. Haz otros dos cortes paralelos, perpendiculares a los primeros y atravesando toda la pila. Cada lámina queda dividida en tres barras, por lo que obtienes nueve barras de 3 × 1 × 1.
Alinea y apila las nueve barras. Haz dos cortes transversales más, a una y dos unidades de sus extremos. Los dos planos atraviesan todas las barras y producen los 27 cubitos unitarios.
El total es:
2 + 2 + 2 = 6 cortes.
Por qué cinco no pueden bastar
Sigamos el material que formará el cubito situado originalmente en el centro. Ninguna de sus seis caras finales estaba expuesta al principio: todas separaban ese cubito de uno de sus seis vecinos.
Cada una de esas caras debe ser creada por un plano de corte distinto. Mientras el cubito central no esté separado, el material que lo formará pertenece a una única pieza física. Un solo corte plano puede atravesar esa pieza en un solo plano y, por tanto, crear como máximo una de las seis caras distintas del cubito central.
Apilar multiplica el trabajo del corte sobre otras piezas, pero no permite que ese mismo corte cree dos caras diferentes del único cubito central.
Por ello hacen falta al menos seis cortes. Como el procedimiento anterior utiliza exactamente seis, el mínimo es 6.