acertijo del día

Un número queda a la vista y otro permanece oculto. No puedes pedir ninguna información adicional, pero el valor que has visto quizá ya diga más de lo que parece.

El otro número

Estratega
Jugadas maestras

Enunciado

Se generan independientemente dos números reales, cada uno elegido de manera uniforme en el intervalo \([0,1]\).

Después se escoge al azar uno de los dos y se te muestra. El otro permanece oculto.

Tras observar el número visible, debes afirmar una de estas dos cosas:

  • «El número oculto es mayor».
  • «El número oculto es menor».

No puedes hacer ninguna pregunta adicional.

¿Puedes acertar con una probabilidad superior a \(1/2\)?

Determina la estrategia óptima y demuestra cuál es la máxima probabilidad de acierto posible.

La igualdad entre los dos números tiene probabilidad cero, por lo que no es necesario considerar los empates.

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Solución

Respuesta: la probabilidad óptima de acierto es

$ \boxed{\frac34}. $

La estrategia consiste en comparar el número visible con \(1/2\).

1. Qué información aporta el número visible

Llamemos \(V\) al número visible y \(H\) al oculto.

Los dos números originales se generan de manera independiente y uniforme en \([0,1]\). Elegir al azar cuál se muestra no cambia esa propiedad: \(V\) y \(H\) siguen siendo independientes y uniformes.

Supongamos que observamos:

$ V=x. $

Como \(H\) es uniforme e independiente de \(V\), la probabilidad de que quede por debajo de \(x\) es la longitud del intervalo \([0,x)\):

$ \Pr(H<x\mid V=x)=x. $

Del mismo modo:

$ \Pr(H>x\mid V=x)=1-x. $

2. La mejor decisión para cada valor observado

Para cada \(x\), debemos escoger la opción con mayor probabilidad condicionada.

Si:

$ x<\frac12, $

entonces:

$ 1-x>x, $

por lo que conviene afirmar que el número oculto es mayor.

Si:

$ x>\frac12, $

entonces:

$ x>1-x, $

por lo que conviene afirmar que el número oculto es menor.

Cuando \(x=1/2\), ambas respuestas tienen probabilidad \(1/2\). Ese valor exacto aparece con probabilidad cero, así que puede resolverse de cualquier manera.

La estrategia es, por tanto:

  • si \(x<1/2\), decir «mayor»;
  • si \(x>1/2\), decir «menor».

3. Probabilidad total de acierto

La probabilidad óptima condicionada al valor visible es:

$ \max\{x,1-x\}. $

Como \(V\) es uniforme en \([0,1]\), promediamos:

$ \Pr(\text{acierto}) = \int_0^1 \max\{x,1-x\}\,dx. $

Separamos en el punto \(1/2\):

$ \Pr(\text{acierto}) = \int_0^{1/2}(1-x)\,dx + \int_{1/2}^1x\,dx. $

El primer término vale:

$ \int_0^{1/2}(1-x)\,dx = \left[ x-\frac{x^2}{2} \right]_0^{1/2} = \frac38. $

El segundo vale también:

$ \int_{1/2}^1x\,dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1/2}^1 = \frac38. $

Por tanto:

$ \Pr(\text{acierto}) = \frac38+\frac38 = \boxed{\frac34}. $

4. Por qué ninguna otra estrategia puede mejorarla

La optimalidad no depende de haber elegido una estrategia de umbral.

Después de observar un valor concreto \(x\), solo existen dos decisiones:

  • decir «mayor», con probabilidad de acierto \(1-x\);
  • decir «menor», con probabilidad de acierto \(x\).

Ninguna estrategia puede obtener, para ese mismo \(x\), una probabilidad superior a:

$ \max\{x,1-x\}. $

Una estrategia aleatoria tampoco ayuda: mezclar ambas respuestas solo produce una media ponderada de \(x\) y \(1-x\), que nunca supera su máximo.

Como nuestra estrategia alcanza ese máximo para cada valor observado, también alcanza el máximo posible al promediar sobre todos los valores.

5. Otra forma de ver el umbral óptimo

Supongamos que se utiliza un umbral cualquiera \(t\):

  • se responde «mayor» cuando \(x<t\);
  • se responde «menor» cuando \(x>t\).

Su probabilidad de acierto es:

$ P(t) = \int_0^t(1-x)\,dx + \int_t^1x\,dx. $

Al calcular:

$ P(t) = \frac12+t-t^2. $

Completando el cuadrado:

$ P(t) = \frac34- \left(t-\frac12\right)^2. $

Esta expresión alcanza su máximo únicamente en:

$ t=\frac12, $

y el valor máximo es:

$ P\left(\frac12\right)=\frac34. $

Idea esencial: el número visible no revela el oculto, pero sí cambia cuál de las dos comparaciones es más probable. La estrategia óptima aprovecha exactamente esa información y no puede ser mejorada punto por punto.