Una balanza de dos platillos no da números: solo dice izquierda, derecha o equilibrio. El reto consiste en exprimir esas tres respuestas para localizar una moneda entre doce y saber si pesa más o menos.
La moneda falsa entre doce
Enunciado
Tienes 12 monedas aparentemente idénticas. Una de ellas es falsa, y no sabes si pesa más o menos que las demás. Dispones de una balanza de dos platillos.
¿Cuál es el número mínimo de pesadas necesario para identificar siempre la moneda falsa y saber si es más pesada o más ligera?
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Solución
Respuesta: el mínimo es 3 pesadas.
Primero veamos por qué no pueden bastar 2 pesadas. Cada pesada tiene tres resultados posibles, así que dos pesadas solo permiten distinguir:
patrones de resultados.
Pero hay 24 casos que distinguir: cualquiera de las 12 monedas puede ser falsa, y además puede ser más pesada o más ligera. Por tanto, 2 pesadas no bastan.
Con 3 pesadas hay:
patrones posibles, así que en principio hay información suficiente. A continuación se da una estrategia que lo consigue.
Numera las monedas del 1 al 12.
Primera pesada: pesa 1, 2, 3, 4 contra 5, 6, 7, 8.
Caso 1: la primera pesada se equilibra.
Las monedas 1 a 8 son auténticas. La falsa está entre 9, 10, 11 y 12.
Segunda pesada: pesa 9, 10, 11 contra 1, 2, 3.
Si se equilibran, la falsa es la 12. Tercera pesada: pesa 12 contra 1 para saber si es más pesada o más ligera.
Si 9, 10, 11 pesan más, la falsa está entre 9, 10 y 11, y es más pesada. Tercera pesada: pesa 9 contra 10. Si una pesa más, esa es la falsa; si equilibran, la falsa es 11.
Si 9, 10, 11 pesan menos, la falsa está entre 9, 10 y 11, y es más ligera. Tercera pesada: pesa 9 contra 10. Si una pesa menos, esa es la falsa; si equilibran, la falsa es 11.
Caso 2: la primera pesada no se equilibra.
Supongamos que 1, 2, 3, 4 pesan más que 5, 6, 7, 8. Entonces la falsa es una de estas ocho posibilidades:
una de 1, 2, 3, 4 —y es más pesada—, o
una de 5, 6, 7, 8 —y es más ligera—.
Las monedas 9, 10, 11 y 12 son auténticas.
Segunda pesada: pesa 1, 2, 5 contra 3, 6, 9.
Si se equilibran, quedan solo tres posibilidades: 4 pesada, 7 ligera u 8 ligera. Tercera pesada: pesa 7 contra 8. Si una pesa menos, esa es la falsa; si se equilibran, la falsa es 4 y es más pesada.
Si el lado izquierdo pesa más, las posibilidades compatibles son 1 pesada, 2 pesada o 6 ligera. Tercera pesada: pesa 1 contra 2. Si una pesa más, esa es la falsa y es más pesada; si se equilibran, la falsa es 6 y es más ligera.
Si el lado derecho pesa más, las posibilidades compatibles son 3 pesada o 5 ligera. Tercera pesada: pesa 3 contra una moneda auténtica, por ejemplo 9. Si 3 pesa más, la falsa es 3 y es más pesada; si se equilibran, la falsa es 5 y es más ligera.
Si en la primera pesada hubiera ocurrido lo contrario —5, 6, 7, 8 más pesadas que 1, 2, 3, 4—, se aplica el mismo razonamiento intercambiando los lados y cambiando «pesada» por «ligera» donde corresponda.
Así, 3 pesadas bastan siempre, y 2 no pueden bastar.