En esta familia de acertijos, cada pirata sopesa no solo lo que recibe ahora, sino lo que obtendría si el proponente fuera eliminado. El umbral de aprobación cambia todo.
Los cinco piratas: mayoría estricta
Enunciado
Cinco piratas, ordenados del más veterano al más joven, deben repartirse 100 monedas.
El más veterano propone un reparto y todos votan, incluido él. Para aprobarse, el reparto debe recibir más de la mitad de los votos; si no, el proponente muere y el siguiente pirata más veterano hace una nueva propuesta.
Todos son perfectamente racionales. Su prioridad es, por este orden: sobrevivir, conseguir tantas monedas como puedan y, si todo lo demás les da igual, arrojar a otro pirata al mar.
¿Qué reparto debe proponer el pirata más veterano?
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Solución
Respuesta: un reparto óptimo es
También sería válido
porque los dos piratas más jóvenes quedan en situación simétrica en el último paso.
Razonamos hacia atrás, desde el caso más simple.
Un pirata. Se queda las 100 monedas:
Dos piratas. Con mayoría estricta sobre 2 votos hacen falta 2 votos. El proponente no puede conseguir el voto del otro: si el otro rechaza, el proponente muere y el superviviente se queda con las 100 monedas. Incluso si el proponente le ofreciera 100, el otro tendría el mismo dinero rechazando y, por la regla final, preferiría arrojarlo al mar.
Así que, con dos piratas, el más veterano muere y el más joven acaba con:
Tres piratas. Hacen falta 2 votos. Si el proponente muere, quedarán dos piratas; el siguiente en edad morirá y el más joven se quedará con 100.
Por tanto, el segundo pirata prefiere aceptar incluso 0 monedas, porque aceptar le permite sobrevivir y rechazarlo lo lleva a ser el siguiente proponente condenado. El tercero, en cambio, rechazará cualquier oferta de 100 o menos, porque si la propuesta falla acabará con 100.
El proponente se vota a sí mismo y obtiene el voto del segundo pirata sin pagarle nada:
Cuatro piratas. Hacen falta 3 votos. Si el proponente muere, el reparto esperado entre los tres restantes será:
El proponente ya tiene su propio voto y necesita dos más. No puede comprar al segundo, que esperaría 100. Los otros dos esperarían 0; para que prefieran aprobar en vez de matar al proponente, debe ofrecerles 1 moneda a cada uno.
El reparto óptimo con cuatro piratas es:
Cinco piratas. Hacen falta 3 votos. Si el proponente muere, el reparto esperado entre los cuatro restantes será:
El proponente cuenta con su propio voto y necesita dos más. El segundo pirata esperaría 98, así que no compensa comprarlo. El tercero esperaría 0 y acepta 1. De los dos más jóvenes, cada uno esperaría 1; basta comprar a uno de ellos con 2.
Así, una propuesta mínima aprobada es:
La aprueban el proponente, el tercer pirata y el quinto. Son 3 votos de 5, mayoría estricta.