Cinco números, dos colores y una única regla sobre sumas. Parece que debería haber muchas formas de repartirlos, pero cada elección condiciona inmediatamente las siguientes.
Cinco números, dos colores
Enunciado
Colorea cada uno de los números
de rojo o de azul.
El coloreo será válido si no existen números \(x,y,z\) del mismo color tales que:
Los números \(x\) e \(y\) pueden ser iguales. Por ejemplo, la relación
también debe respetar la regla.
¿Existe algún coloreo válido?
Determina además si \(5\) es el primer tamaño para el que resulta imposible: ¿pueden colorearse válidamente los números \(\{1,2,3,4\}\)?
Ver solución
Solución
Respuesta: no se pueden colorear válidamente los números del \(1\) al \(5\).
Además, \(5\) es el primer tamaño para el que aparece esta imposibilidad.
## 1. Fijar el color del 1
Los nombres «rojo» y «azul» son intercambiables.
Por tanto, podemos suponer sin pérdida de generalidad que:
Si existiera una solución con el \(1\) azul, bastaría intercambiar los nombres de ambos colores para obtener otra con el \(1\) rojo.
## 2. Las primeras sumas fuerzan tres colores
Como:
el \(2\) no puede ser rojo: los tres números de la igualdad quedarían rojos.
Luego:
Ahora usamos:
Como el \(2\) es azul, el \(4\) no puede ser azul. Por tanto:
Después:
Tanto el \(1\) como el \(4\) son rojos, así que el \(5\) no puede ser rojo:
Hasta aquí, todos estos colores han quedado forzados:
## 3. El 3 no admite ningún color
Solo falta colorear el \(3\).
### Si el 3 fuera rojo
Tendríamos:
y los tres números \(1,3,4\) serían rojos.
Esto viola la condición.
### Si el 3 fuera azul
Tendríamos:
y los tres números \(2,3,5\) serían azules.
También viola la condición.
El \(3\) no puede ser rojo ni azul. Hemos llegado a una contradicción.
Por tanto:
## 4. ¿Es cinco el primer caso imposible?
Sí.
Para los números:
usa este coloreo:
- rojo: \(\{1,4\}\);
- azul: \(\{2,3\}\).
Las únicas sumas relevantes cuyo resultado no supera \(4\) son:
Comprobémoslas:
- \(1_R+1_R=2_A\);
- \(1_R+2_A=3_A\);
- \(1_R+3_A=4_R\);
- \(2_A+2_A=4_R\).
En ninguna igualdad tienen el mismo color los tres números implicados.
Por tanto, \(1,2,3,4\) sí admiten un coloreo válido, pero al añadir el \(5\) ya no existe ninguno.
## 5. El número de Schur correspondiente
El mayor entero \(n\) para el que puede colorearse:
con dos colores sin crear una solución monocolor de \(x+y=z\) se denomina número de Schur para dos colores.
Este acertijo demuestra que:
Idea esencial: unas pocas ecuaciones encadenan los colores. Después de fijar el color del \(1\), los colores de \(2\), \(4\) y \(5\) quedan forzados, y las dos ecuaciones que contienen al \(3\) bloquean sus dos únicas posibilidades.