Mover tres fichas consecutivas parece una libertad amplia. Pero no todas las reordenaciones son alcanzables, y la razón es más sutil de lo que aparenta.
La rotación triple
Enunciado
Empiezas con la fila
\[
1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5.
\]
La única operación permitida es elegir tres fichas consecutivas y rotarlas cíclicamente:
\[
abc \to bca \quad\text{o}\quad abc \to cab.
\]
¿Es posible obtener así cualquier permutación de las cinco fichas?
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Solución
Respuesta: No, no se puede.
Cada operación permitida es un 3-ciclo sobre posiciones consecutivas. Un 3-ciclo es una permutación par, y componer permutaciones pares produce siempre una permutación par. Por tanto, cualquier posición alcanzable desde (1,2,3,4,5) debe diferir de ella en una permutación par.
Sin embargo, la permutación (2,1,3,4,5) consiste en un único intercambio de dos elementos: es una permutación impar. Como impar no puede obtenerse como composición de pares, esta reordenación —y muchas otras— es inalcanzable.