El ecuador contiene infinitos lugares y cada uno tiene su propia temperatura. Parece imposible garantizar una coincidencia exacta sin medirlos todos, pero la geometría del círculo obliga a que ocurra.
Al otro lado del ecuador
Enunciado
Considera la temperatura a lo largo del ecuador terrestre en un instante fijo.
Supondremos que la temperatura varía de manera continua: al desplazarte una distancia muy pequeña por el ecuador, la temperatura solo puede cambiar una cantidad muy pequeña.
Dos puntos del ecuador son opuestos si están separados por media vuelta; es decir, si son extremos de un mismo diámetro de la Tierra.
¿Debe existir necesariamente una pareja de puntos opuestos que tengan exactamente la misma temperatura?
Justifica tu respuesta.
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Solución
Respuesta: sí. En todo instante debe existir al menos una pareja de puntos opuestos del ecuador con la misma temperatura, siempre que la temperatura varíe continuamente.
1. Representar los puntos del ecuador
Parametriza el ecuador mediante un ángulo:
Sea:
la temperatura del punto situado en la posición angular \(\theta\).
Como una vuelta completa conduce al mismo punto:
El punto exactamente opuesto al de ángulo \(\theta\) es el de ángulo:
2. Comparar cada punto con su opuesto
Define la diferencia:
Esta función expresa cuál de los dos puntos opuestos está más caliente:
- si \(f(\theta)>0\), el punto \(\theta\) está más caliente;
- si \(f(\theta)<0\), está más frío;
- si \(f(\theta)=0\), ambos tienen la misma temperatura.
Como \(T\) es continua, también lo es \(f\).
3. Qué ocurre al avanzar media vuelta
Calculemos el valor de la función en el punto opuesto:
Por tanto:
Al avanzar media vuelta, las dos temperaturas comparadas son las mismas, pero aparecen en el orden contrario. Por eso la diferencia cambia de signo.
4. Aplicar la continuidad
Elige cualquier posición inicial \(\theta_0\).
Si \(f(\theta_0)=0\)
Entonces:
y ya hemos encontrado la pareja buscada.
Si \(f(\theta_0)>0\)
Por la identidad anterior:
La función continua \(f\) pasa de un valor positivo a uno negativo mientras recorremos el semicírculo entre \(\theta_0\) y \(\theta_0+\pi\).
Por el teorema del valor intermedio, existe algún punto \(c\) de ese recorrido tal que:
Si \(f(\theta_0)<0\)
Entonces:
y el mismo razonamiento vuelve a proporcionar un punto \(c\) con:
5. Interpretar el cero
La igualdad:
significa:
Por tanto:
Los puntos de ángulos \(c\) y \(c+\pi\) son exactamente opuestos y tienen la misma temperatura.
Así queda demostrado que:
6. Por qué la continuidad es necesaria
El argumento depende de que la diferencia no pueda saltar directamente de un valor positivo a uno negativo sin pasar por cero.
Si se permitieran cambios discontinuos arbitrarios, ese paso por cero no estaría garantizado. La hipótesis de continuidad es, por tanto, una parte esencial del problema.
7. La idea matemática general
Este resultado es el caso unidimensional de una familia de teoremas sobre puntos antipodales. También puede verse como una aplicación especialmente elegante del teorema del valor intermedio.
Idea esencial: al intercambiar un punto con su opuesto, la diferencia de temperaturas cambia exactamente de signo. La continuidad obliga a que, en algún punto intermedio, esa diferencia sea cero.