Dos matemáticos, un número de línea a la vista y una sola negativa capaz de revelar la edad de un pasajero.
El autobús de Conway
Enunciado
Dos matemáticos viajan en un autobús y ambos pueden ver el número de la línea.
Uno de ellos dice:
—Tengo al menos dos hijos. Sus edades son números enteros positivos y pueden repetirse. La suma de sus edades es el número de esta línea; su producto es mi edad.
El otro responde:
—Si conociera también tu edad y cuántos hijos tienes, podría determinar exactamente sus edades.
—No podrías.
Tras pensarlo, el segundo matemático concluye:
—Entonces ya sé cuántos años tienes.
¿Cuál es el número de la línea y qué edad ha deducido?
Ver solución
Solución
Respuesta: la línea es la 12 y el padre tiene 48 años.
La negativa del padre significa que, incluso conociendo la suma de las edades, su producto y el número de hijos, seguirían existiendo al menos dos listas de edades posibles.
Por tanto, para cada número de línea \(s\) debemos buscar los productos que pueden obtenerse mediante dos listas distintas que tengan:
- la misma suma \(s\);
- el mismo número de términos;
- el mismo producto.
El segundo matemático puede deducir la edad únicamente cuando existe un solo producto ambiguo para la suma que está viendo.
La comprobación puede hacerse de forma exhaustiva: se generan todas las listas no decrecientes de al menos dos enteros positivos con suma \(s\), y se agrupan según su longitud y su producto. Los primeros resultados son:
- para \(2\le s\le11\), no existe ningún producto ambiguo;
- para \(s=12\), el único producto ambiguo es \(48\);
- para \(s=13\), ya son ambiguos los productos \(36\) y \(48\).
En la línea 12, las dos listas responsables son
y
Ambas tienen cuatro términos y cumplen
Así, aun sabiendo que el padre tiene cuatro hijos y 48 años, sus edades no quedarían determinadas. Como 48 es el único producto ambiguo para la suma 12, la negativa revela inmediatamente su edad.
¿Por qué no puede ser una línea mayor? Para la suma 13 existen dos ambigüedades distintas:
con producto 36, y
con producto 48.
Si añadimos el mismo número de hijos de un año a las dos listas de una pareja, aumentan por igual la suma y la longitud, pero el producto no cambia. Por eso las ambigüedades 36 y 48 sobreviven para cualquier suma mayor que 13.
En una línea menor que 12 no habría ninguna ambigüedad; en una mayor habría al menos dos edades posibles. La única línea compatible con toda la conversación es la 12, y la edad deducida es 48.
La idea esencial consiste en buscar la única suma que admite ambigüedad, pero solo para un producto.