Un código de cuatro cifras deja tres rastros: una suma, un múltiplo y lo que ocurre al leerlo al revés. Tres condiciones para un único número.
El código con checksum y reverso
Enunciado
Un código tiene cuatro cifras distintas.
Se sabe que:
- es múltiplo de 9;
- la última cifra es el resto al dividir entre 10 la suma de las tres primeras;
- al invertir el orden de sus cifras, el número obtenido supera al original por 369 unidades.
¿Cuál es el código?
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Solución
Respuesta:
Sea el código abcd. El número obtenido al invertir sus cifras es dcba.
Como ese reverso supera al original por 369 unidades:
Es decir:
Agrupando:
Dividiendo entre 9:
Como a, b, c, d son cifras, las diferencias d - a y c - b están entre -9 y 9. La única combinación entera que satisface la ecuación es:
de modo que:
Ahora usamos la condición de la última cifra:
Sustituyendo d = a + 1 y c = b - 7:
luego:
de modo que:
Así que b debe ser congruente con 4 módulo 5. Como c = b - 7 debe ser una cifra válida, b solo puede ser 7, 8 o 9. De esos tres valores, el único congruente con 4 módulo 5 es b = 9, lo que da c = 2.
Finalmente, el código es múltiplo de 9, así que la suma de sus cifras debe serlo:
La única cifra a que hace esta suma múltiplo de 9 es a = 3, pues 2(3) + 12 = 18. Entonces d = 4.
El código es \mathbf{3924}.
Comprobación: las cuatro cifras son distintas; 3 + 9 + 2 + 4 = 18, múltiplo de 9; 3 + 9 + 2 = 14, cuyo resto al dividir entre 10 es 4; el reverso es 4293, y 4293 - 3924 = 369.