acertijo del día

Algunos números parecen tener una coreografía interna. Mueves una cifra de sitio y, en lugar de desordenarse, el número se transforma exactamente en su doble.

El número que se duplica al mover una cifra

Maestro
Territorio numérico

Enunciado

Busca todos los enteros positivos con esta propiedad:

  • tomas la última cifra y la colocas al principio;
  • el número obtenido es exactamente el doble del original.

¿Cuáles son las soluciones más cortas? ¿Se acaba ahí la familia?

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Solución

Las soluciones más cortas tienen 18 cifras. Son ocho:

$ \begin{aligned} 105263157894736842&\to210526315789473684,\\ 157894736842105263&\to315789473684210526,\\ 210526315789473684&\to421052631578947368,\\ 263157894736842105&\to526315789473684210,\\ 315789473684210526&\to631578947368421052,\\ 368421052631578947&\to736842105263157894,\\ 421052631578947368&\to842105263157894736,\\ 473684210526315789&\to947368421052631578. \end{aligned} $

En cada línea, el número de la derecha es el doble del de la izquierda y se obtiene moviendo su última cifra al principio.

Veamos de dónde salen. Si la última cifra es $d$ y el resto es $A$, el número vale $10A+d$. Si $A$ tiene $k$ cifras, al mover $d$ al principio obtenemos:

$ d\cdot10^k+A. $

La condición exige:

$ d\cdot10^k+A=2(10A+d), $

por lo que:

$ 19A=d(10^k-2). $

Como $d$ está entre 1 y 9, hace falta que:

$ 10^k\equiv2\pmod{19}. $

La primera vez que ocurre es $k=17$, y vuelve a ocurrir cada 18 posiciones. Para $k=17$, la cifra $d=1$ produciría un bloque $A$ con un cero inicial y no da una solución de 18 cifras; las cifras $d=2,3,\ldots,9$ producen exactamente las ocho soluciones anteriores.

La familia no termina ahí. Para cualquier:

$ k\equiv17\pmod{18} $

y cualquier $d\in\{2,3,\ldots,9\}$, la fórmula

$ A=\frac{d(10^k-2)}{19} $

genera otra solución.

Respuesta: hay ocho soluciones mínimas de 18 cifras y después infinitas familias, con longitudes 36, 54, 72, ... cifras.