Es una conversación que aprieta poco a poco, como solo lo hacen los buenos problemas lógicos. Cada frase no aporta un dato nuevo: borra posibilidades.
Suma y producto
Enunciado
Dos enteros distintos \(x\) e \(y\) cumplen \(2 \le x < y \le 99\).
A una persona se le comunica la suma \(S=x+y\), y a otra el producto \(P=xy\).
Conversación:
1. Producto: “No sé cuáles son los números.”
2. Suma: “Ya lo sabía.”
3. Producto: “Entonces ahora sí los sé.”
4. Suma: “Entonces yo también los sé.”
¿Cuáles son \(x\) e \(y\)?
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Solución
Respuesta: $ (x,y)=(4,13). $
El diálogo funciona porque cada frase elimina un bloque entero de posibilidades.
Trabajamos en el dominio $ 2\le x<y\le 99, $ y llamamos $ S=x+y,\qquad P=xy. $
La primera frase —Producto no sabe los números— simplemente confirma que su producto admite más de una factorización válida en el dominio.
La segunda es la decisiva: Suma afirma que ya sabía que Producto no podría saberlo. Eso significa que, para toda descomposición posible de su suma $ S = a+b, $ el producto $ab$ debe admitir más de una factorización válida. En particular, ninguna de esas descomposiciones puede ser de la forma $(2, p)$ con $p$ primo, porque en ese caso el producto $2p$ identificaría el par de inmediato. Al aplicar esta criba al dominio completo, las sumas compatibles con esa segunda frase son exactamente: $ \{11,17,23,27,29,35,37,41,47,53\}. $
La tercera frase: Producto, tras escuchar eso, sí consigue identificar el par. Su producto tiene varias factorizaciones válidas, pero solo una de ellas con suma perteneciente al conjunto anterior.
Eso ocurre con $ P=52, $ cuyas descomposiciones válidas son:
$(2,26)$, con suma 28; $(4,13)$, con suma 17.
De las dos, solo 17 pertenece al conjunto. Por eso, al oír la segunda frase, Producto concluye que el par es $ (4,13). $
Queda verificar la cuarta frase: que Suma, conociendo $S=17$, pueda deducir también el par tras escuchar a Producto.
Las parejas con suma 17 son:
$(2,15)$, $(3,14)$, $(4,13)$, $(5,12)$, $(6,11)$, $(7,10)$, $(8,9)$.
Sus productos son, respectivamente:
$30$, $42$, $52$, $60$, $66$, $70$, $72$.
Suma examina cada uno y comprueba que todos salvo 52 permanecen ambiguos incluso después de la segunda frase. Solo 52 apunta sin equívoco a $(4,13)$ dentro de las sumas admitidas. La cuarta frase encaja.
La única pareja compatible con todo el diálogo es: $ \boxed{(4,13)}. $