La suma escondida

Los números que se resisten son exactamente las potencias de 2.

1. Por qué una potencia de 2 no puede aparecer

Supongamos que un número n es la suma de k enteros positivos consecutivos, empezando por a, con k ≥ 2:

n = a + (a + 1) + ··· + (a + k − 1)

Por la fórmula de la suma:

n = k(2a + k − 1)/2.

Si k es impar, entonces 2a + k − 1 es par. Por tanto, (2a + k − 1)/2 es un entero y k es un divisor impar de n, con k > 1.

Si k es par, podemos escribir:

n = (k/2)(2a + k − 1).

El segundo factor es impar y, como a ≥ 1 y k ≥ 2, es mayor que 1. Por tanto, cualquier número representable tiene un divisor impar mayor que 1.

Una potencia de 2 no posee ningún divisor impar mayor que 1, así que no puede representarse.

2. Cómo construir una representación para cualquier otro número

Sea n un número que no es potencia de 2. Escribámoslo como:

n = 2ˢm, donde m es impar y m > 1.

Como m es impar y 2ˢ⁺¹ es par, solo pueden darse dos casos.

Caso A: m < 2ˢ⁺¹.

Tomamos m enteros consecutivos centrados en 2ˢ. El primero es:

2ˢ − (m − 1)/2. Como m < 2ˢ⁺¹ y m es impar, tenemos m ≤ 2ˢ⁺¹ − 1; por eso el primer término es al menos 1.

Su promedio es 2ˢ, así que la suma de los m términos es:

m · 2ˢ = n.

Caso B: m > 2ˢ⁺¹.

Tomamos 2ˢ⁺¹ enteros consecutivos comenzando por:

a = (m − 2ˢ⁺¹ + 1)/2.

Como m es impar, este valor es entero; y como m > 2ˢ⁺¹, es al menos 1. El promedio de esos términos es m/2, de modo que su suma es:

2ˢ⁺¹ · m/2 = 2ˢm = n.

Así, todo número que no sea potencia de 2 posee al menos una representación mediante dos o más enteros positivos consecutivos.