Repartir justamente un collar mezclado parece exigir separar cuentas una por una. La pregunta es si la propia continuidad del círculo puede hacer el trabajo.
El collar que se reparte justamente
Enunciado
Dos ladrones roban un collar circular con cuentas rojas y azules.
Hay un número par de cuentas rojas y un número par de cuentas azules.
Quieren partir el collar con el menor número de cortes posible y repartir los trozos entre los dos, de modo que cada ladrón reciba:
la mitad de las cuentas rojas;
y la mitad de las cuentas azules.
¿Cuántos cortes bastan siempre?
Ver solución
Solución
Bastan siempre:
cortes.
Con dos cortes en un collar circular obtienes dos trozos: un arco y el arco complementario.
La cuestión es demostrar que existe algún arco que contenga justo la mitad de las cuentas rojas y justo la mitad de las cuentas azules.
Como el número de rojas y el número de azules son pares, el número total de cuentas también es par.
Imagina una ventana que cubre exactamente la mitad de las cuentas del collar.
Esa ventana contiene cierta cantidad de cuentas rojas.
Ahora deslizamos la ventana una posición cada vez alrededor del collar, siempre cubriendo la mitad de las cuentas.
Si en algún momento contiene exactamente la mitad de las rojas, entonces también contiene exactamente la mitad de las azules, porque contiene la mitad del total de cuentas.
Ya hemos terminado.
Si no ocurre al principio, observa esto:
cuando la ventana está en una posición, su arco opuesto contiene las cuentas que ella no contiene.
Por tanto, si una ventana tiene más de la mitad de las rojas, la ventana opuesta tiene menos de la mitad.
Al deslizar la ventana paso a paso, el número de rojas que contiene solo puede cambiar poco a poco: al salir una cuenta y entrar otra, la cantidad de rojas cambia como máximo en 1.
Así que, para pasar de “más de la mitad” a “menos de la mitad”, en algún momento tiene que pasar por “exactamente la mitad”.
Ese arco se corta por sus dos extremos.
Un ladrón recibe ese arco. El otro recibe el resto del collar.
Ambos reciben la mitad de las rojas y la mitad de las azules.
Respuesta: bastan siempre 2 cortes.