Del objeto original no queda ninguna medida. Sólo puedes medir la altura de lo que ha sobrevivido a la perforación.
La esfera de tamaño desconocido
Enunciado
Se perfora una esfera con un agujero cilíndrico recto cuyo eje pasa por el centro. Se retira todo el material atravesado por el cilindro.
El sólido que queda tiene una altura de 6 centímetros, medida en la dirección del eje del agujero, desde su punto más bajo hasta el más alto. No conoces el radio de la esfera ni el del agujero.
¿Puedes determinar el volumen del sólido restante? Si puedes, calcúlalo y explica por qué los dos radios no hacen falta.
*Vista tridimensional del sólido restante. La altura de 6 cm se mide paralela al eje del agujero; los radios son desconocidos.*
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Solución
El volumen restante es 36π cm³.
Corte por el eje del agujero. La línea discontinua indica el contorno de la esfera original.
Sean R el radio de la esfera y r el del cilindro. Situamos el centro en la altura z=0. Los extremos del sólido están en z=−3 y z=3. En esos extremos, la sección de la esfera tiene radio r; por Pitágoras:
R²−r²=3²=9.
A una altura z con −3≤z≤3, el corte perpendicular al eje es una corona circular. El radio exterior al cuadrado es R²−z² y el interior es r². Su área es:
A(z)=π(R²−z²)−πr²=π(9−z²).
Esta es exactamente el área de la sección, a esa misma altura, de una esfera de radio 3. Ambos sólidos tienen la misma altura y áreas iguales en cada corte paralelo. El principio de Cavalieri dice que dos sólidos de igual altura tienen el mismo volumen si, en cada nivel, sus secciones paralelas tienen la misma área. Puedes imaginar ambos divididos en láminas horizontales cada vez más finas. Por tanto:
V=(4/3)π · 3³ = 36π cm³.
En general, para una altura h, el volumen es πh³/6. No hemos supuesto que el sólido tenga forma de esfera: comparamos las áreas de sus secciones, aunque unas sean coronas y otras discos.
Una esfera mayor obliga a quitar un cilindro más ancho para mantener la altura. En cada nivel, el aumento del área exterior se compensa exactamente con el aumento del área retirada. El dato desconocido se cancela antes de calcular el volumen.
A una misma altura, la corona y el disco tienen exactamente la misma área, aunque su forma sea distinta.