Es una imposibilidad elegante: no se resiste por exceso de combinaciones, sino porque hay algo en el tablero que ningún recubrimiento puede corregir.
Tablero mutilado y dominós
Enunciado
En un tablero de ajedrez \(8\times 8\) se eliminan dos esquinas opuestas.
¿Es posible cubrir exactamente las 62 casillas restantes con dominós \(1\times 2\), sin solapamientos ni huecos?
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Solución
Respuesta: No se puede.
Un dominó, colocado en cualquier orientación, cubre siempre una casilla blanca y una negra: las casillas adyacentes en un tablero de ajedrez son siempre de colores distintos.
En un tablero \(8 \times 8\) hay 32 casillas blancas y 32 negras. Las dos esquinas opuestas son del mismo color —ambas blancas o ambas negras según se elijan—, de modo que al retirarlas quedan 30 casillas de un color y 32 del otro.
Para cubrir las 62 casillas restantes con 31 dominós haría falta que los colores estuvieran en igual número. Como no lo están, el recubrimiento es imposible.