Una mesa coja parece pedir un calzo, una servilleta doblada o cambiarla de sitio. Pero a veces basta con girarla: el suelo irregular obliga a que exista una posición equilibrada.
La mesa coja
Enunciado
Una mesa cuadrada tiene cuatro patas iguales cuyos extremos forman un cuadrado.
Está sobre un suelo continuo y suavemente irregular: no hay escalones ni cambios bruscos, y durante el giro pueden mantenerse tres patas apoyadas.
La mesa cojea en su orientación actual. Sin calzos y sin cambiarla de lugar, ¿puede garantizarse que alguna orientación obtenida al girarla alrededor de su centro hará que las cuatro patas apoyen?
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Solución
Sí, bajo las condiciones indicadas.
Mientras tres patas permanecen apoyadas, mide la separación con el suelo de la cuarta pata. Podemos asignarle signo según cuál de las dos patas de la diagonal queda por encima de su posición de apoyo.
Gira la mesa lentamente alrededor de su centro. Tras un giro de 90 grados, cada pata ocupa la posición que antes correspondía a la siguiente. La diagonal que estaba alta y la que estaba baja intercambian sus papeles, de modo que la diferencia de apoyo cambia de signo.
Como el suelo y el movimiento son continuos, esa diferencia también cambia continuamente. No puede pasar de positiva a negativa sin valer cero en algún instante.
En ese instante, la cuarta pata toca el suelo al mismo tiempo que las otras tres.
La conclusión requiere las hipótesis del enunciado. Un escalón, un agujero abrupto o un terreno tan accidentado que impida mantener tres apoyos romperían el argumento.
Respuesta: sí. En un suelo continuo y suavemente irregular existe una orientación estable.