Un mapa puede estar girado, desplazado y apoyado de cualquier manera. Aun así, hay una coincidencia que no puede evitar.
El mapa sobre la ciudad
Enunciado
Tienes un mapa exacto y a escala reducida de una ciudad.
Colocas el mapa en cualquier posición y orientación, siempre completamente dentro de la ciudad real.
¿Tiene que existir algún punto del mapa situado exactamente encima del lugar real que representa?
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Solución
Sí.
La colocación del mapa define una transformación: a cada punto real de la ciudad le asigna el lugar físico donde ha quedado dibujado ese mismo punto en el mapa.
Como el mapa es una copia reducida, esa transformación acorta todas las distancias por un mismo factor menor que 1. Por tanto, tiene un único punto fijo: un punto que la transformación deja en el mismo lugar.
Hay una forma intuitiva de verlo. Elige cualquier punto de la ciudad y busca dónde aparece representado en el mapa colocado. Después repite la operación con el nuevo punto. Cada salto es más corto que el anterior, porque el mapa reduce las distancias. La sucesión converge a un punto que coincide con su propia representación.
Ese punto fijo pertenece a la ciudad porque todas las posiciones intermedias están dentro de ella y la ciudad se considera una región cerrada.
Respuesta: sí. Siempre existe al menos un punto del mapa colocado exactamente sobre el lugar real que representa.