Una mesa vacía, monedas iguales y dos jugadores. Antes de colocar ninguna, ¿preferirías empezar o jugar segundo?
La primera moneda
Enunciado
Dos jugadores se turnan para colocar monedas circulares idénticas sobre una mesa redonda. La mesa es suficientemente grande para contener al menos una moneda. Las monedas deben quedar totalmente sobre la mesa, planas y sin superponerse; pueden tocarse por sus bordes. Una moneda colocada ya no se mueve.
Hay tantas monedas como hagan falta. Pierde quien no puede colocar una moneda en su turno.
¿Quién puede asegurarse la victoria, el primero o el segundo? Describe una estrategia y demuestra que siempre funciona.
*Una mesa circular y monedas idénticas.*
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Solución
Gana el primer jugador. Coloca su primera moneda con el centro exactamente en el centro de la mesa. Después responde a cada colocación del rival situando otra moneda en la posición obtenida al girarla 180 grados alrededor del centro de la mesa.
1: primera moneda, en el centro. 2: jugada del rival. 3: respuesta simétrica del primer jugador.
Debemos probar que esa respuesta siempre es legal. Tras cada respuesta del primero, el conjunto de monedas es simétrico respecto del centro. Si el rival coloca una moneda legal con centro P, su imagen con centro −P queda también enteramente dentro de la mesa, que tiene la misma simetría.
La moneda de respuesta no puede superponerse a una moneda de la posición anterior: si lo hiciera, al girar toda la figura, la moneda recién colocada por el rival se superpondría a la imagen de aquella moneda, que también pertenecía a la posición anterior. Eso contradice que su jugada fuese legal.
Queda por comprobar que la respuesta no choca con la propia moneda recién puesta por el rival. Sea r el radio de una moneda. Como la moneda central ya está ocupada, la distancia de P al centro de la mesa es al menos 2r. La distancia de P a −P es entonces al menos 4r, suficiente para que las dos monedas no se superpongan.
Por último, la partida termina: cada moneda ocupa un área positiva πr² y la mesa tiene área finita. No puede haber infinitas colocaciones sin superposición. El primero siempre tiene respuesta a una jugada del segundo; por ello será el segundo quien se quede sin movimiento.
La primera moneda ocupa la única posición que coincide con su propia imagen. Todas las demás jugadas pueden agruparse en parejas opuestas. En lugar de planificar el empaquetamiento completo, el primero conserva una respuesta para cada acción del rival.