Una tableta, 48 cuadraditos y una tentación irresistible: encontrar la secuencia perfecta de roturas.
La tableta de chocolate
Enunciado
Tienes una tableta rectangular de chocolate dividida en 48 cuadraditos.
En cada movimiento eliges una sola pieza y la partes en dos, siempre siguiendo una línea entre cuadraditos.
No puedes apilar piezas ni partir varias a la vez.
¿Cuál es el menor número de movimientos necesarios para separar los 48 cuadraditos?
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Solución
Respuesta: hacen falta exactamente 47 movimientos.
Al principio, toda la tableta forma una sola pieza.
Cada movimiento elige una pieza y la sustituye por dos. Por tanto, el número total de piezas aumenta siempre exactamente en una unidad:
Para terminar con los 48 cuadraditos separados hacen falta 48 piezas. Si después de \(n\) movimientos hay \(1+n\) piezas, debemos tener
Así que
Esto no solo demuestra que no puede hacerse en menos de 47 movimientos. Demuestra algo más fuerte: cualquier secuencia válida de roturas necesita exactamente 47. El orden, la forma de las piezas y la estrategia elegida no pueden cambiar el resultado.
Idea esencial: cada movimiento crea una sola pieza nueva; para pasar de una pieza a 48 hay que crear 47 piezas adicionales.