Una moneda parece dejar mucho espacio a su alrededor. Al unir los centros, ese espacio se convierte en una vuelta completa dividida en ángulos mínimos.
Una moneda en el centro
Enunciado
Colocas una moneda circular sobre una mesa.
Quieres rodearla con monedas idénticas, también apoyadas sobre la mesa, de modo que:
- todas toquen a la moneda central;
- ninguna moneda exterior se superponga con otra.
¿Cuál es el máximo número de monedas que pueden tocar simultáneamente a la moneda central?
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Solución
Supongamos que todas las monedas tienen radio r.
Como cada moneda exterior toca a la central, su centro se encuentra a distancia 2r del centro de esta. Todos los centros exteriores están, por tanto, sobre una circunferencia de radio 2r.
Consideremos dos monedas exteriores consecutivas. La separación mínima compatible con el no solapamiento se produce cuando ambas también se tocan entre sí.
En esa posición límite, los tres segmentos que unen los centros de las monedas miden 2r:
- del centro común a la primera moneda exterior;
- del centro común a la segunda;
- entre las dos monedas exteriores.
Los tres centros forman, por tanto, un triángulo equilátero. El ángulo que ocupa cada moneda exterior alrededor del centro es como mínimo 60°. Si las dos monedas exteriores no se tocan, ese ángulo es mayor.
Como la vuelta completa mide 360°, pueden colocarse como máximo:
360° ÷ 60° = 6 monedas.
El máximo se alcanza colocando los seis centros en los vértices de un hexágono regular. En esa disposición, cada moneda exterior toca a la central y a sus dos vecinas.