A veces, subir un 10 % y bajar un 10 % no nos devuelve al punto de partida. Este acertijo nos llega de uno de nuestros lectores, que lo planteó a partir de una escena muy cotidiana: un coche, una autopista y un mando de velocidad de crucero que parece más inocente de lo que es.
Velocidad de crucero
Enunciado
El viaje a la playa es largo, y Diego decide dejar que el control de crucero haga su trabajo. Lo fija en 100 km/h.
El mando de su coche tiene una particularidad: cada pulsacion hacia arriba aumenta en un 10% la velocidad que lleve el coche en ese instante; cada pulsacion hacia abajo la reduce en un 10%.
En un momento del viaje, Diego pulsa una vez hacia arriba. El coche pasa entonces a 110 km/h.
Ahora quiere volver a los 100 km/h iniciales sin tocar el acelerador ni el freno, solo con ese mismo mando. Puede pulsar hacia arriba o hacia abajo tantas veces como quiera, y en el orden que quiera.
¿Existe alguna secuencia finita de pulsaciones que devuelva el coche exactamente a 100 km/h?
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Solución
No existe tal secuencia finita.
Cada pulsacion hacia arriba multiplica la velocidad por
y cada pulsacion hacia abajo la multiplica por
Supongamos que, desde los 100 km/h iniciales, Diego pulsa en total u veces hacia arriba y d veces hacia abajo. Como ya ha pulsado una vez hacia arriba, tenemos u \geq 1.
El orden de las pulsaciones no importa, porque todas son multiplicaciones. Para volver exactamente a 100 km/h tendria que cumplirse
Cancelando 100,
Es decir,
Pero esto es imposible: el lado izquierdo es impar, mientras que el lado derecho es una potencia de 10, y por tanto es par.
Asi que Diego no puede volver exactamente a 100 km/h mediante una secuencia finita de pulsaciones.
Podria acercarse mucho, e incluso el velocimetro podria redondear y mostrar 100. Pero, con las reglas exactas del problema, no llega exactamente.
Para deshacer una subida del 10%, habria que multiplicar por
que equivale a bajar aproximadamente un 9,09%, no un 10%.