Una misma hoja rectangular puede convertirse en dos cilindros muy distintos. La superficie utilizada no cambia, pero eso no obliga a que sus capacidades coincidan.
Dos cilindros, una hoja
Enunciado
Tienes una hoja rectangular muy fina de 20 cm por 10 cm.
Puedes enrollarla de dos maneras para formar la pared lateral de un cilindro:
- uniendo entre sí los dos lados de 10 cm;
- uniendo entre sí los dos lados de 20 cm.
En ambos casos, los bordes se unen exactamente, sin solapamiento, y despreciamos el grosor de la hoja.
Para comparar la capacidad, imagina que después se añaden dos bases muy finas que no alteran las dimensiones del cilindro.
¿Tendrían los dos cilindros la misma capacidad? Si no, ¿cuál contendría más y en qué proporción?
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Solución
Al unir los lados de 10 cm, la dimensión de 20 cm rodea el cilindro. Por tanto:
- circunferencia: 20 cm;
- altura: 10 cm.
Como 2πr = 20, el radio es 10/π. Su volumen es:
V₁ = π(10/π)² · 10 = 1000/π cm³.
Al unir los lados de 20 cm, la dimensión de 10 cm forma la circunferencia y la altura es 20 cm. Entonces el radio es 5/π y:
V₂ = π(5/π)² · 20 = 500/π cm³.
Así que V₁ = 2V₂. Duplicar el radio multiplica por cuatro el área de la base; aunque la altura se reduzca a la mitad, el volumen total todavía se duplica.