Hay una vieja leyenda sobre el inventor del ajedrez y un rey que le ofreció cualquier recompensa. El inventor pidió algo aparentemente sencillo: granos de arroz, doblando la cantidad en cada casilla del tablero.
El ajedrez y el grano de arroz
Enunciado
En un tablero de 64 casillas se colocan granos de arroz de la siguiente manera: 1 grano en la primera casilla, 2 en la segunda, 4 en la tercera, y así sucesivamente, doblando siempre la cantidad.
¿Cuántos granos de arroz habrá en total en el tablero, sumando los granos de las 64 casillas?
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Solución
Las cantidades forman una progresión geométrica:
$1,\ 2,\ 4,\ 8,\ \dots,\ 2^{63}.$
La suma de una progresión geométrica de razón 2 con 64 términos es
$1 + 2 + 4 + \cdots + 2^{63} = 2^{64} - 1.$
Por tanto, el total de granos es
$2^{64} - 1 = 18\,446\,744\,073\,709\,551\,615.$