acertijo del día

En una sala llena de fechas distintas, basta una sola coincidencia. La cuestión es cuánta gente hace falta para que esa coincidencia sea más probable que su ausencia.

El cumpleaños compartido

Estratega
El factor azar

Enunciado

En una sala hay \(n\) personas.

Supondremos que:

  • cada cumpleaños puede caer con la misma probabilidad en cualquiera de los 365 días del año;
  • los cumpleaños de las distintas personas son independientes;
  • no existen años bisiestos.

¿Cuál es el menor valor de \(n\) para el que la probabilidad de que al menos dos personas compartan cumpleaños es superior al 50 %?

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Solución

Respuesta: hacen falta exactamente 23 personas.

La forma más limpia de resolver el problema es calcular primero la probabilidad contraria.

1. El suceso complementario

Sea \(D_n\) el suceso:

Los cumpleaños de las \(n\) personas son todos distintos.

El suceso que buscamos —que al menos dos personas compartan cumpleaños— es el complementario de \(D_n\). Por tanto:

$ \Pr(\text{alguna coincidencia}) = 1-\Pr(D_n). $

2. Probabilidad de que todos sean distintos

La primera persona puede cumplir años cualquier día:

$ \frac{365}{365}=1. $

Para que la segunda no coincida con ella, dispone de 364 días posibles:

$ \frac{364}{365}. $

Si las dos primeras tienen cumpleaños distintos, la tercera debe evitar esos dos días:

$ \frac{363}{365}. $

Continuando de la misma manera, para \(n\le365\):

$ \Pr(D_n) = \frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365} \cdot \frac{363}{365} \cdots \frac{365-n+1}{365}. $

Equivalentemente:

$ \Pr(D_n) = \prod_{k=0}^{n-1} \frac{365-k}{365}. $

Por tanto:

$ \Pr(\text{alguna coincidencia}) = 1- \prod_{k=0}^{n-1} \frac{365-k}{365}. $

3. El caso de 22 personas

Para \(n=22\):

$ \Pr(D_{22}) = \prod_{k=0}^{21} \frac{365-k}{365} \approx 0{,}5243046923. $

Así que:

$ \Pr(\text{alguna coincidencia con 22}) \approx 1-0{,}5243046923 = 0{,}4756953077. $

Es aproximadamente un 47,57 %, todavía inferior al 50 %.

4. El caso de 23 personas

Para \(n=23\):

$ \Pr(D_{23}) = \prod_{k=0}^{22} \frac{365-k}{365} \approx 0{,}4927027657. $

Por tanto:

$ \Pr(\text{alguna coincidencia con 23}) \approx 1-0{,}4927027657 = 0{,}5072972343. $

Es aproximadamente un 50,73 %, ya superior al 50 %.

5. Por qué 23 es el mínimo

No basta con comprobar que 23 funciona; hay que demostrar que ningún número menor puede hacerlo.

Al añadir una nueva persona, la probabilidad de que todos los cumpleaños sigan siendo distintos se multiplica por:

$ \frac{365-n}{365}, $

que es menor que 1.

Por tanto, \(\Pr(D_n)\) disminuye al aumentar \(n\), y su complementaria:

$ \Pr(\text{alguna coincidencia}) $

aumenta.

Como con 22 personas la probabilidad todavía está por debajo del 50 %, pero con 23 ya está por encima, el primer valor que cruza el umbral es:

$ \boxed{23}. $

Idea esencial: contar directamente todas las posibles coincidencias sería incómodo porque pueden solaparse. El suceso contrario —que todos los cumpleaños sean diferentes— se calcula con un único producto.