Cuando cada rechazo es irreversible, elegir bien exige saber primero cuándo no elegir. Una muestra inicial puede convertirse en el criterio para decidir después.
La elección óptima
Enunciado
Vas a entrevistar a un número conocido \(N\) de candidatos para un trabajo. Llegan uno a uno en un orden completamente aleatorio y puedes compararlos sin empates.
Después de cada entrevista debes decidir de inmediato: contratar a ese candidato y terminar, o rechazarlo para siempre. Si llegas al último sin haber elegido, debes contratarlo.
Quieres maximizar la probabilidad de elegir al mejor de todos.
¿Cuál es la estrategia óptima y qué probabilidad de éxito alcanza?
Ver solución
Solución
Estrategia: rechaza los primeros \(r\) candidatos y úsalos únicamente como muestra. A partir de ahí, contrata al primer candidato que sea mejor que todos los anteriores. Si ninguno cumple la condición, contrata al último.
Probabilidad de éxito. Supón que el mejor candidato aparece en la posición \(k>r\). Para que la estrategia lo elija, el mejor de los \(k-1\) candidatos anteriores debe estar entre los primeros \(r\). Si estuviera después, habría activado antes la regla de contratación.
Entre las primeras \(k-1\) posiciones, la posición del mejor es uniforme. Por tanto, esa condición tiene probabilidad
Como el mejor candidato tiene probabilidad \(1/N\) de aparecer en cada posición, la probabilidad total es
Para un \(N\) concreto se elige el entero \(r\) que maximiza esta expresión.
Cuando \(N\) es grande, si escribimos \(x=r/N\), la suma armónica se aproxima por
Así,
cuya máxima se alcanza en \(x=1/e\).
La regla práctica es, por tanto, rechazar aproximadamente el 37 % inicial y después aceptar al primer candidato que sea mejor que todos los anteriores.
Para \(N=100\), el corte óptimo es \(r=37\) y la probabilidad de éxito es aproximadamente 37,10 %. Cuando \(N\) crece, esa probabilidad se aproxima a \(1/e\approx36,8\%\).