Un juego de azar puede parecer una maraña de caminos posibles. Pero si el juego es justo, hay una forma de mirarlo sin contar caminos: tu dinero actual ya contiene la probabilidad escondida de llegar a la meta.
La ruina justa
Enunciado
Tienes 7 €.
Juegas a cara o cruz contra el casino.
En cada partida:
si ganas, sumas 1 €;
si pierdes, restas 1 €.
La moneda es justa.
Dejas de jugar cuando ocurre una de estas dos cosas:
llegas a 10 €;
te arruinas y llegas a 0 €.
¿Cuál es la probabilidad de llegar a 10 € antes de arruinarte?
Ver solución
Solución
La probabilidad es $7/10$, es decir, 70%.
Sea $p_k$ la probabilidad de llegar a 10 € antes que a 0 € empezando con $k$ euros.
En los extremos:
Para cualquier cantidad intermedia, la siguiente partida lleva con la misma probabilidad a los dos estados vecinos:
Por tanto, cada valor de la sucesión es el punto medio de sus vecinos. La única sucesión que va de 0 a 1 en diez pasos con esa propiedad es lineal:
Al empezar con 7 €:
Respuesta: la probabilidad de llegar a 10 € antes de arruinarte es $7/10$.