Un problema clásico de probabilidad que desafía la intuición: la respuesta es la misma para cualquier número de pasajeros, y llegar a ella exige mirar el problema desde el ángulo correcto.
El último pasajero
Enunciado
Un avión tiene \(n\) asientos y \(n\) pasajeros, cada uno con su asiento asignado.
El pasajero 1 pierde su tarjeta y se sienta al azar en cualquier asiento. A partir del pasajero 2, cada uno actúa así:
- si su asiento está libre, se sienta en él;
- si está ocupado, elige al azar entre los asientos libres.
¿Cuál es la probabilidad de que el último pasajero acabe en su propio asiento?
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Solución
Respuesta:
Explicación:
Mientras el proceso sigue abierto, solo importan dos asientos: el 1 y el n.
Cada vez que un pasajero encuentra ocupado su sitio y debe elegir al azar, pueden ocurrir tres cosas:
- toma el asiento 1, y desde ese momento el último acabará en el suyo;
- toma el asiento n, y el último ya no podrá sentarse en el suyo;
- toma cualquier otro, y el problema se traslada al dueño de ese asiento sin cambiar su estructura.
El proceso termina en el momento en que aparece por primera vez uno de esos dos asientos críticos. Como ambos se encuentran siempre en situación simétrica, cada uno es igualmente probable.
De ahí que la probabilidad de que el último pasajero ocupe su propio asiento sea exactamente \tfrac{1}{2}, independientemente de n.