acertijo del día

A veces un solo dato visible basta para cambiar el peso de toda una situación. Este acertijo es más profundo de lo que parece.

La urna que se delata

Estratega
El factor azar

Enunciado

Una urna contiene 100 bolas. Algunas son rojas y las demás, verdes.

No sabes cuántas rojas hay, salvo esto: el número de bolas rojas se eligió al azar con la misma probabilidad entre 0 y 100.

Sacas una bola. Sale roja y la apartas.

Ahora vas a sacar una segunda bola de la misma urna.

¿Cuál es la probabilidad de que esta segunda bola también sea roja?

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Solución

Sea $k$ el número de bolas rojas. Antes de sacar nada, todos los valores

$k = 0, 1, 2, \dots, 100$

son equiprobables.

Al observar que la primera bola es roja, los valores grandes de $k$ se vuelven más plausibles: una urna con muchas rojas tenía más posibilidades de producir esa observación.

Formalizando: si hay $k$ rojas, la probabilidad de sacar roja en primer lugar y roja en segundo lugar es

$\frac{k}{100} \cdot \frac{k-1}{99},$

mientras que la probabilidad de sacar roja solo en el primero es

$\frac{k}{100}.$

Por el teorema de la probabilidad condicional, la probabilidad buscada es

$P(\text{2.ª roja} \mid \text{1.ª roja}) = \frac{\displaystyle\sum_{k=0}^{100} \frac{k}{100} \cdot \frac{k-1}{99}}{\displaystyle\sum_{k=0}^{100} \frac{k}{100}} = \frac{\displaystyle\sum_{k=0}^{100} k(k-1)}{\displaystyle 99 \sum_{k=0}^{100} k}.$

Calculando cada suma por separado:

$\sum_{k=0}^{100} k = \frac{100 \cdot 101}{2} = 5050,$
$\sum_{k=0}^{100} k(k-1) = \sum_{k=0}^{100} k^2 - \sum_{k=0}^{100} k = \frac{100 \cdot 101 \cdot 201}{6} - 5050 = 338\,350 - 5050 = 333\,300.$

Sustituyendo:

$P = \frac{333\,300}{99 \times 5050} = \frac{333\,300}{499\,950} = \frac{2}{3}.$

La probabilidad de que la segunda bola también sea roja es $\dfrac{2}{3}$.